$\text{a) Xét ΔABI và ΔDBI có:}$

$\text{BI chung}$

$\text{$\widehat{BIA}$ = $\widehat{BID}$ = $90^{o}$}$

$\text{AI = DI (I là trung điểm AD)}$

$\text{⇒ ΔABI = ΔDBI (c.g.c)}$

$\text{⇒ $\widehat{IBA}$ = $\widehat{IBD}$ (2 góc t/ứ)}$

$\text{⇒ BC là p/g $\widehat{ABD}$}$

$\text{b) Có: $\widehat{IBA}$ = $\widehat{IBD}$ (cmt)}$

$\text{mà $\widehat{IBA}$ = $\widehat{IMA}$ (ΔABM cân tại A)}$

$\text{⇒ $\widehat{IBD}$ = $\widehat{IMA}$}$

$\text{mà 2 góc này ở vị trí so le trong}$

$\text{⇒ AM // BD (DHNB) (1)}$

$\text{Xét ΔCBD có:}$

$\text{M là trung điểm BC (MB = MC)}$

$\text{K là trung điểm CD (gt)}$

$\text{⇒ MK là đg trung bình ΔCBD (DHNB)}$

$\text{⇒ MK // BD (tc đg trung bình) (2)}$

$\text{từ (1), (2) ⇒ AM trùng MK (cùng // với BD)}$

$\text{⇒ A, M, K thẳng hàng}$

$\text{c) Có: MB = MC (gt); BC = 20cm (gt)}$

$\text{⇒ MB = MC = $\dfrac{BC}{2}$ = $\dfrac{20}{2}$ = 10 (cm)}$

$\text{Xét ΔABM cân tại A có:}$

$\text{AI là đg cao (gt)}$

$\text{⇒ AI đồng thời là đg trung tuyến (tc Δ cân)}$

$\text{⇒ BI = IM = $\dfrac{BM}{2}$ = $\dfrac{10}{2}$ = 5 (cm)}$

$\text{Có: IC = MI + MC}$

$\text{⇒ IC = 5 + 10 = 15 (cm)}$

$\text{Xét ΔAIB vuông tại I (AI là đg cao) có:}$

$\text{$AB^{2}$ = $BI^{2}$ + $AI^{2}$ (đl Pytago)}$

$\text{⇒ $AI^{2}$ = $AB^{2}$ - $BI^{2}$}$

$\text{⇒ $AI^{2}$ = $13^{2}$ - $5^{2}$}$

$\text{⇒ $AI^{2}$ = 144}$

$\text{⇒ AI = 12 (cm)}$

$\text{Xét ΔAIC vuông tại I (AI là đg cao) có:}$

$\text{$AC^{2}$ = $AI^{2}$ + $IC^{2}$ (đl Pytago)}$

$\text{⇒ $AC^{2}$ = $12^{2}$ + $15^{2}$}$

$\text{⇒ $AC^{2}$ = 369}$

$\text{⇒ AC = 3$\sqrt[]{41}$ (cm)}$

$\text{d) Xét ΔABM cân tại A có:}$

$\text{AI là đg cao (gt)}$

$\text{⇒ AI đồng thời là đg p/g $\widehat{A}$ (tc Δ cân)}$

$\text{⇒ $\widehat{BAI}$ = $\widehat{MAI}$}$

$\text{mà: $\widehat{MAI}$ + $\widehat{MAC}$ = $\widehat{CAI}$}$

$\text{⇒ $\widehat{BAI}$ < $\widehat{CAI}$}$

$\text{d) Giả sử BC = 2AB (gt)}$

$\text{⇒ $\dfrac{1}{2}$BC = BM = AB}$

$\text{mà AB = AM (ΔABM cân tại A)}$

$\text{⇒ AB = AM = BM ⇒ ΔABM là Δ đều (DHNB)}$

$\text{Còn cm ΔADC là Δ gì thì mình k biết nhó :v khó quá chịu ỏ :v}$

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 a, Xét ΔAIB và ΔDIB có:

∠AIB=∠DIB{=90 độ}

BI chung

AI=ID{gt}

Suy ra:ΔAIB=ΔDIB{cgc}

⇒∠ABI=∠IBD{2 góc tương ứng}

Mà BC nằm trong ∠ABD

⇒BC là tia phân giác của ∠ABD