F ở giữa O và C, bạn kí hiệu lộn rồi kìa.

a. Ta có AC là tiếp tuyến của (O) tại A

Nên OC vuông AC

Hay góc OAC = 90°

Tương tự góc OBC = 90°

Xét tứ giác AOBC có

Góc OAC + góc OBC = 180°

Nên AOBC nội tiếp

Xét ∆OAC (gócA = 90°) và ∆OBC (gócB = 90°) có

OC cạnh chung

OA = OB = R

Do đó ∆OAC = ∆OBC (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

Suy ra AC = BC

Mà OA = OB = R

Nên OC là đường trung trực của AB

Suy ra OC vuông AB

b.

Do OC là trung trực của AB

Nên AH = HB

Xét ∆FAB có

FA là trung tuyến ứng với cạnh AB (AH = HB)

FA là đường cao ứng với cạnh AB (OC vuông AB)

Suy ra ∆FAB cân tại F

Mà góc AOB = 120°

Nên góc AFB = 60°

Suy ra ∆FAB đều

Suy ra FA = FB = AB (1)

Tương tự ∆CAB cân tại C (AC = BC)

Có góc ACB = 180 - 120 = 60° (AOBC nội tiếp)

Suy ra ∆CAB đều

Suy ra AB = AC = BC (2)

(1)(2) suy ra AF = AC = BF = BC (= AB)

Suy ra ACBF là hình thoi

Do ACBF là hình thoi

Nên diện tích ACBF = 4. Diện tích AHC

Xét ∆AOC vuông tại A có

Góc AOC = 60°

Suy ra ∆AOC là nửa tam giác đều cạnh OC

Suy ra OC = 2.OA = 2R

Và AC = OC.√3 / 2 = R√3

Xét ∆HAC vuông tại H

Có góc HAC = 60° (góc HAC = góc AOC do cùng phụ góc HAO)

Suy ra HAC là nửa tam giác đều cạnh AC

Suy ra HC = AC.√3 / 2 = 3R/2

Và AH = AC/2 = R√3 / 2

Ta tính được diện tích ∆AHC = AH.HC/2 = (R√3 / 2).(3R/2)/2 = 3√3(R^2)/8

Suy ra diện tích hình thoi ACBF = 4.3.(R^2)/8 = 3√3(R^2)/2 (₫vdt)

b) Ta có: ΔABC cân tại A

`sđ A =\frac{1}{2}.sđ AB=60^{0}`

⇒ ΔABC đều

⇒ `AB=BC=AC\ (1)`

`sđ AFC=360^{0}-120^{0}=240^{0}`

⇒ `sđ AF=sđ BF =120^{0}`

⇒ `\hat{FAB}=\hat{FBA}=60^{0}`

⇒ ΔABF đều

⇒ `AF=BF=AB\ (2)`

Từ `(1)` và `(2)` ⇒ `ACBF` là hình thoi

`S=\frac{1}{2}.3\sqrt{3}R^2`