Giải thích các bước giải:

a.Ta có $AQ$ là đường kính của $(O)\to AP\perp PQ$
$\to PQ//BC$ vì $H$ là trực tâm $\Delta ABC\to AH\perp BC$

$\to BCQP$ là hình thang 

b.Gọi $ AH\cap BC=D$

$\to \widehat{ADB}=\widehat{ACQ}=90^o$

Mà $\widehat{ABD}=\widehat{ABC}=\widehat{AQC}$

$\to\Delta ABD\sim\Delta AQC(g.g)$

$\to \widehat{BAD}=\widehat{QAC}$

$\to \widehat{BAP}=\widehat{CAQ}$

c.Ta có $QA$ là đường kính của $(O)$

$\to QB\perp AB, QC\perp AC$

Mà $H$ là trực tâm $\Delta ABC\to BH\perp AC, CH\perp AB$

$\to BH//QC, CH//BQ$

$\to BHCQ$ là hình bình hành

$\to HQ\cap BC$ tại trung điểm mỗi đường

Mà $I$ là trung điểm $BC\to I$ là trung điểm $HQ$
$\to H,I,Q$ thẳng hàng

d.Ta có:

$\widehat{PAQ}=\alpha$

$\to \sin\alpha=\dfrac{PQ}{AQ}=\dfrac{PQ}{2R}$

$\to PQ=2R\sin\alpha$

Lại có $\cos\alpha=\dfrac{AP}{AQ}=\dfrac{AP}{2R}$

$\to AP=2R\cos\alpha$

$\to S_{APQ}=\dfrac12\cdot AP\cdot PQ$

$\to S_{APQ}=\dfrac12\cdot 2R\cos\alpha\cdot 2R\cos\alpha$

$\to S_{APQ}=2R^2\cos\alpha\cdot\cos\alpha$