Đặt m²=$n^{4}$-n²+2n+2 (m∈Z)

           =($n^{4}$-2n²+1)+(n²+2n+1)

           =(n²-1)²+(n+1)² (chỗ này bạn nhân từ dưới lên là được cái bên trên)

           =(n-1)²(n+1)²+(n+1)² (chỗ này bạn nhân từ dưới lên là được cái bên trên)

           =(n+1)²((n-1)²+1)

           =(n+1)²(n²-2n+1+1)

⇒ m²=(n+1)²(n²-2n+2)  (1)

Do m²; (n+1)² là số chính phương và n²-2n+2∈Z

Để (1) xảy ra ⇔ n²-2n+2 là số chính phương

Đặt p²=n²-2n+2 (p∈Z)

          =(n²-2n+1)+1

          =(n-1)²+1 (chỗ này bạn nhân từ dưới lên là được cái bên trên)

⇒ p²-(n-1)²=1

⇒ (p-n+1)(p+n-1)=1 (chỗ này bạn nhân từ dưới lên là được cái bên trên)

Do p,n∈Z ⇒ p-n+1∈Z và p+n-1∈Z.

Xảy ra các trường hợp: p-n+1=p+n-1=1 hoặc p-n+1=p+n-1=-1

Cả 2 trường hợp đều suy ra được:

p-n+1=p+n-1 ⇒ (p+n-1)-(p-n+1)=0

                        ⇒ 2n-2=0 ⇒ n=1 (thỏa mãn)

⇒ p²=n²-2n+2=1²-2.1+2=1 (thỏa mãn là số chính phương)

Vậy n=1

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Xét $n= 0; 1; 2$ ta thấy $n- 2$ thỏa mãn

Với $n> 2. có: (n^{2}- 1)^{2}< n^{4}- n+ 2< (n^{2}+ 1)^{2}$

$⇒ n^{4}= n^{4}- n+ 2⇔ n= 2 (loại)$

Vậy $n= 2$ thì thỏa mãn số cần tìm