Giải thích các bước giải:

Gọi $BM\cap CN=H$

Ta có $BM//AC\to \widehat{MAC}=180^o-\widehat{AMB}=\widehat{ACB}$

$\to AMNC$ là hình thang cân 

Tương tự $ANCB$ là hình thang cân

Ta có $AB//CN\to AB//CH, AC//BM\to AC//BH\to ABHC$ là hình bình hành

Gọi $AH\cap BC=I\to I$ là trung điểm $BC$

Ta có $AMBC$ là hình thang cân $\to AM=BC$

Tương tự $AN=BC=\to AM=AN=CB$

$\to \widehat{MOB}+\widehat{CON}=360^o-\widehat{AOM}-\widehat{AON}-\widehat{BOC}$

$\to \widehat{MOB}+\widehat{CON}=360^o-3\widehat{BOC}$

$\to \widehat{MOB}+\widehat{CON}=360^o-3\cdot 2\widehat{BAC}$

$\to \widehat{MOB}+\widehat{CON}=360^o-3\cdot 2\cdot 45^o$

$\to \widehat{MOB}+\widehat{CON}=90^o$

$\to \widehat{MOB}+\widehat{CON}+\widehat{BOC}=90^o+90^o$

$\to \widehat{MON}=180^o$

$\to M,O,N$ thẳng hàng

$\to MN$ là đường kính của $(O)$

$\to MC\perp CN\to MC\perp HF$

Mà $E,I$ là trung điểm $BM,BC\to EI$ là đường trung bình $\Delta BCM$

$\to EI//CM\to EI\perp HF$

Tương tự $FI\perp HE$
$\to I$ là trực tâm $\Delta HEF$

$\to HI\perp EF

$\to AH\perp EF$

$\to $Đường thẳng đi qua $A$ vuông góc với $EF$ luôn đi qua $I$ là trung điểm $BC$ cố định