Đáp án:

$\begin{array}{l}
a)Theo\,Pytago:\\
B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {9^2} + {12^2} = 225\\
 \Rightarrow BC = 15\left( {cm} \right)\\
b)Xet:\Delta ABD;\Delta MBD:\\
 + \widehat {ABD} = \widehat {MBD}\\
 + BD\,chung\\
 + \widehat {BAD} = \widehat {BMD} = {90^0}\\
 \Rightarrow \Delta ABD = \Delta MBD\left( {ch - gn} \right)\\
c)\Delta ABD = \Delta MBD\\
 \Rightarrow BA = BM;AD = MD\\
Xet:\Delta ADE;\Delta MDC:\\
 + \widehat {DAE} = \widehat {DMC} = {90^0}\\
 + \widehat {ADE} = \widehat {MDC}\\
 + AD = MD\\
 \Rightarrow \Delta ADE = \Delta MDC\left( {g - c - g} \right)\\
 \Rightarrow AE = MC\\
 \Rightarrow BA + AE = BM + MC\\
 \Rightarrow BE = BC
\end{array}$

=> tam giác BEC cân tại B

d)

Xét ΔBEK và ΔBCK có:

+ BE = BC

+ góc EBK = góc CBK

+ BK chung

=> ΔBEK = ΔBCK (c-g-c)

=> EK = CK

=> BK là đường trung tuyến của ΔBEC

Trong ΔBEC có BK,EP là 2 đường trugn tuyến cắt nhau tại I

=> CI là đường trung tuyến thứ 3

=> C,I,Q thẳng hàng,