Với $a,b,c >0$ ta có: 

$a^3+b^3+c^3 \geq 3abc$

$\Leftrightarrow (a+b)^3+c^3-3abc(a+b+c) \geq0$

$\Leftrightarrow (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \geq0\Leftrightarrow \frac{1}{2}(a+b+c)\left [ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \right ] \geq 0$

(Luôn đúng)

Do đó bất đẳng thức được chứng minh 

Dấu $"="$ xảy ra khi: $a=b=c$

Áp dụng BĐT $Cauchy$ (BĐT đã được chứng minh trên) cho 3 số thực dương ta có: 

$\left\{\begin{matrix} a^3+a^3+b^3 \geq 3a^2b& & \\ b^3+b^3+c^3\geq 3b^2c& & \\ c^3+c^3+a^3 \geq3c^2a& & \end{matrix}\right.$

Cộng $3$ bất đẳng thức trên vế theo vế ta có: 

$3(a^3+b^3+c^3) \geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)$

$\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3 \geq a^2b+b^2c+c^2a$

Bất đẳng thức được chứng minh.

Dấu $"="$ xảy ra khi: 

$\left\{\begin{matrix} a^3=b^3 & & \\ b^3=c^3& & \\ c^3=a^3& & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c$

Áp dụng BĐT Cô-si ta được:

$a^3+c^3+c^3>= 3\sqrt[3]{a^3 . c^3 . c^3}=3ac^2$

Tương tự:

$b^3+a^3+a^3>= 3ba^2$

$c^3+b^3+b^3>=3cb^2$

$=>3(a^3+b^3+c^3)>= 3 (a^2b + b^2c + c^2a)$

$=>a^3+b^3+c^3>=a^2b+b^2c+c^2a$

Dấu "$=$" xảy ra khi:

$a^3=c^3, b^3=a^3, c^3=b^3<=>a=b=c$