a) Xét ΔABD và ΔEBD có:

AB = BE 

góc ABD = góc EBD 

BD chung

⇒ ΔABD = ΔEBD (c.g.c)

b) Vì ΔABD = ΔEBD

⇒ DE = AD (2 cạng tương ứng)

    góc DEB = góc BAD = 90 độ (2 góc tương ứng)

⇒ DE ⊥ BC tại E (góc DEB = 90 độ)

c) Vì ΔABD = ΔEBD 

⇒ AD = DE (2 cạnh tương ứng)

Ta có: 

AB = BE ⇒ B thuộc đường trung trực của AE 

AD = DE ⇒ D thuộc đường trung trực của AE 

⇒ BD là đường trung trực của AE 

d) Ta có: BF = AB+AF

              BC = BE + EC 

Mà: AB=BE, AF=EC

⇒ BF=BC

⇒ΔBFC cân tại B

Xét ΔBFC cân tại B có:

BD là đường phân giác góc FBC 

⇒ BD là đường cao của ΔBFC

Lại có: CA là đường cao của ΔBFC

           BD∩CA tại D

⇒ D là trực tâm của ΔFBC 

⇒ FD là đường cao của ΔFBC

⇒ FD ⊥ BC 

Mà: DE ⊥ BC tại E (cm p b)

⇒ 3 điểm F,D,E thẳng hàng (cùng vuông góc với BC )

a) Xét $\Delta ABD$ và $\Delta EBD$ có:
AB=BE (gt)
$\widehat{ABD}=\widehat{EBD}$ (BD là phân giác của $\widehat{ABC}$)
BD chung
$\Rightarrow \Delta ABD=\Delta EBD$ (c.g.c) (*)
b) Từ (*)$\Rightarrow\left\{\begin{matrix}
AD=DE\\ 
\widehat{BAD}=\widehat{BED}=90^{0}\Rightarrow DE\perp BC
\end{matrix}\right.$
c) Vì 
$AB=BE\Rightarrow B$ thuộc đường trung trực của AE
$AD=DE\Rightarrow D$ thuộc đường trung trực của AE
$\Rightarrow BD$ là đường trung trực của AE
d) Giả sử E,D,G là ba điểm thẳng hàng 
Xét $\Delta GAD$ và $\Delta CED$ có:
$\widehat{GAD}=\widehat{CED} (=90^{0})$
AD=DE (cmt)
$\widehat{ADF}=\widehat{EDC}$ (đối đỉnh)
$\Rightarrow \Delta GAD=\Delta CED$ (g.c.g)
$\Rightarrow AG=EC$ (hai cạnh tương ứng)
mà AF=EC (gt)
$\Rightarrow E,D,G$ thẳng hàng