`a,` Xét `(O)` có:

`+PA` là tiếp tuyến, `A` là tiếp điểm $(gt)$

`⇒PA\botOA⇒\hat{OAP}=90^o`

`+PB` là tiếp tuyến, `B` là tiếp điểm $(gt)$

`⇒PB\botOB⇒\hat{OBP}=90^o`

Xét tứ giác `PAOB` có: `\hat{OAP}+\hat{OBP}=90^o``+90^o=180^o`

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

`⇒PAOB` nội tiếp đường tròn đường kính `OP`

`b,`Xét `(O)` có:

`\hat{PAC}=\hat{ADC}` (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn $\mathop{AC}\limits^{\displaystyle\frown}$)

Hay `\hat{PAC}=\hat{PDA}`

Xét `ΔPAC` và `ΔPDA` có:

`\hat{PAC}=\hat{PDA}` `(cmt)`

`\hat{APD}`: góc chung

`⇒ΔPAC`$\backsim$`ΔPDA` `(g.g)`

`⇒(PA)/(PD)=(PC)/(PA)` (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

`⇒PA^2=PC.PD`

`c,` Xét `(O)` có: `OC=OD=R`

Xét `ΔOCD` có: `OC=OD` `(cmt)`

`⇒ΔOCD` cân tại `O`

`⇒\hat{OCD}=\hat{ODC}` Hay `\hat{OCD}=\hat{PDO}` 

Xét `(O)` có:

`PA,PB` là hai tiếp tuyến cắt nhau tại `P`

`A,B` là hai tiếp điểm

`⇒PA=PB,PO` là phân giác `\hat{APB}`

Xét `ΔAPB` có: `PA=PB` `(cmt)`

`⇒ΔPAB` cân tại `P`

Mà `PO` là phân giác `\hat{APB}` `(cmt)`

`⇒PO\botAB`

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong `ΔPAO` vuông tại `A` (`\hat{PAO}=90^o`), `AE\botPO` `(PO\botAB)` có: `PA^2=PE.PO`

Mà `PA^2=PC.PD` `(cmt)`

`⇒PC.PD=PE.PO`

`⇒(PC)/(PO)=(PE)/(PD)`

Xét `ΔPCE` và `ΔPOD` có:

`(PC)/(PO)=(PE)/(PD)` `(cmt)`

`\hat{DPO}`: góc chung

`⇒ΔPCE`$\backsim$`ΔPOD` `(c.g.c)`

`⇒\hat{PEC}=\hat{PDO}` (hai góc tương ứng) Hay `\hat{PEC}=\hat{CDO}`

Mà `\hat{PEC}+\hat{CEO}=180^o` (hai góc kề bù)

`⇒\hat{PDO}+\hat{CEO}=180^o` Hay `\hat{CDO}+\hat{CEO}=180^o`

Xét tứ giác `OECD` có: `\hat{CDO}+\hat{CEO}=180^o` `(cmt)`

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

`⇒` Tứ giác `OCED` nội tiếp

`⇒\hat{OCD}=\hat{OED}` (hai góc cùng chắn cung $\mathop{OD}\limits^{\displaystyle\frown}$)

Mà `\hat{PEC}=\hat{CDO}` `(cmt),` `\hat{OCD}=\hat{ODC}` `(cmt)`

`⇒\hat{PEC}=\hat{OED}`