Đặt m²=n²+83n+2009 (m∈N) 

⇔ 4m²=4n²+332n+8036

⇔ 4m²=((2n)²+2.2n.83+6889)+1147

⇔ 4m²=(2n+83)²+1147

⇔ 4m²-(2n+83)²=1147

⇔ (2m-2n-83)(2m+2n+83)=1147

Do m,n∈N ⇒ 2m+2n+83>0; 2m+2n+83∈N

Mà (2m-2n-83)(2m+2n+83)=1147 ⇒ 2m-2n-87>0 

Mà m,n∈N ⇒ 2m-2n-87∈N

Ta có: (2m+2n+83)-(2m-2n-83)=4n+166≥166>0

Mà 1147=1.1147=31.37

⇒ Chỉ xảy ra duy nhất 1 trường hợp: 2m+2n+83=1147 (1) và 2m-2n-83=1 

Lấy (1) trừ (2), vế theo vế, ta được:

(2m+2n+83)-(2m-2n-83)=1147-1 

⇔ 4n+166=1146 ⇔ n=245 (thoả mãn)

Thay n vào (1) ta được: 

2m+2.245+83=1147 ⇔ 2m+573=1147 ⇔ m=287 (thoả mãn)

Thử lại: 245²+83.245+2009=82369=287² (thoả mãn)

Vậy n=245

Do n²+83n+2009 là SCP

nên đặt n²+83n+2009=a² (a ∈ N*)

⇒ 4(n²+83n+2009)=4a²

⇔ 4n² + 2.2n.83 + 4.2009 = 4a²

⇔ 4n² + 2.2n.83 +83² + 4.2009 - 83² = 4a²

⇔ (2n+83)² +1147 = 4a²

⇔ 4a² - (2n+83)² =1147

⇔ (2a - 2n - 83)(2a + 2n + 83) = 1147

⇒ 2a + 2n + 83 ∈ Ư(1147)={±1;±31;±37;±1147}

Mà 2a + 2n + 83 ∈  N* và 2a + 2n + 83 >83

⇒ 2a + 2n + 83 =1147 ⇔ 2a+2n=1064 (1)

và 2a - 2n - 83 = 1 ⇔ 2a-2n=84 (2)

Trừ cả 2 vế của (1) cho (2) ta được: 2a+2n - 2a + 2n = 1064 - 84

                                                  ⇔ 4n = 980

                                                  ⇔ n=245

Vậy n = 245 thì n^2+83n+2009 là một số chính phương