Đáp án:

4)  Không tồn tại $m$

5)  $m=-1$

Giải thích các bước giải:

${{x}^{2}}-5mx-4m=0$

Để  phương trình có nghiệm phân biệt

Thì $\Delta =25{{m}^{2}}+16m>0$

Theo hệ thức Vi-et, ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=5m\\x_1x_2=-4m\end{cases}$

$P=\dfrac{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{2{{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3}=\dfrac{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+3}=\dfrac{-4m}{10m+3}$

Ta nhận xét biểu thức $A=-P=\dfrac{4m}{10m+3}$ như sau:

Với $m=0$ thì $A=0$

Với $m\in \mathbb{Z}$ và $m>0$ thì:

+  Tử $=4m$ mang giá trị dương

+  Mẫu $=10m+3$ mang giá trị dương

+  Độ lớn tử $=4m$ < độ lớn mẫu$=10m+3$

Nên $0\le \dfrac{4m}{10m+3}<1$

$\Rightarrow 0\le A<1$

$\Rightarrow -1<-A\le 0$

$\Rightarrow -1<P\le 0$

Với $m\in \mathbb{Z}$ và $m<0$ thì:

+  Tử $=4m$ mang giá trị âm

+  Mẫu $=10m+3$ mang giá trị âm

+  Độ lớn tử $=4m$ < độ lớn mẫu$=10m+3$

Nên $0\le \dfrac{4m}{10m+3}<1$

$\Rightarrow 0\le A<1$

$\Rightarrow -1<-A\le 0$

$\Rightarrow -1<P\le 0$

Kết hợp cả ba trường hợp

Ta được $-1<P\le 0$

Vì $P\in \mathbb{Z}$ nên $P=0$

$\Leftrightarrow \dfrac{4m}{10m+3}=0$

$\Leftrightarrow m=0$ (không thỏa mãn điều kiện $\Delta >0$)

Vậy không tồn tại $m$ nguyên để $P$ nhận giá trị nguyên

5)

$\,\,\,\,\,2\sqrt{{{x}^{2}}+6x+10}-2\sqrt{x+6}+{{x}^{2}}+5x+4=0$   (ĐK: $x\ge -6$)

$\Leftrightarrow 2\left( \sqrt{{{x}^{2}}+6x+10}-\sqrt{x+6} \right)+{{x}^{2}}+5x+4=0$

$\Leftrightarrow 2\cdot \dfrac{\left( {{x}^{2}}+6x+10 \right)-\left( x+6 \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}+6x+10}+\sqrt{x+6}}+{{x}^{2}}+5x+4=0$

$\Leftrightarrow 2\cdot \dfrac{{{x}^{2}}+5x+4}{\sqrt{{{x}^{2}}+6x+10}+\sqrt{x+6}}+{{x}^{2}}+5x+4=0$

$\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}+5x+4 \right)\left( \dfrac{2}{\sqrt{{{x}^{2}}+6x+10}+\sqrt{x+6}}+1 \right)=0$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+5x+4=0$   (vế sau luôn dương)

$\Leftrightarrow {{x}_{3}}=-1$ và ${{x}_{4}}=-4$

Để tương đương với phương trình ban đầu

Thì $\begin{cases}x_1+x_2=x_3+x_4\\x_1x_2=x_3x_4\end{cases}$

$\Leftrightarrow\begin{cases}5m=-1-4\\-4m=\left(-1\right)\left(-4\right)\end{cases}$

$\Leftrightarrow\begin{cases}5m=-5\\-4m=4\end{cases}$

$\Leftrightarrow\begin{cases}m=-1\\m=-1\end{cases}$

$\Leftrightarrow m=-1$

Vậy $m=-1$ thì hai phương trình tương đương với nhau