a) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại B (gt), áp dụng định lý pitago ta có: ta có:

\(\begin{array}{l}
A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}\\
A{C^2} = {5^2} + {12^2}\\
AC = 13\left( {cm} \right)
\end{array}\)

b) Xét tam giác \(\Delta ABE\) và \(\Delta DBE\), có:

     BA = BD (gt)

     BE: cạnh chung

     \(\widehat {ABE} = \widehat {DBE}\left( { = {{90}^0}} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta ABE = \Delta DBE\left( {c - g - c} \right)\)

\( \Rightarrow EA = ED \Rightarrow \Delta AED\) cân tại E

c) Xét \(\Delta ACD\) có CB là đường trung tuyến, \(BE = \frac{1}{3}CD\)

⇒ E là trọng tâm của \(\Delta ACD\)

⇒ AK là đường trung tuyến của \(\Delta ACD \Rightarrow \) K là trung điểm CD

a) Áp dụng định lý Pytago vào Δ ABC ta có: 

BA²+BC²=AC²

5²   +12²=AC²

25  +144=AC²

169         =AC²

⇒√169=AC=13 cm

b) Ta có: BC ⊥ AB mà BD là tia đối AB ⇒ BC ⊥ AD mà E ∈ BC

⇒ED ⊥ AD  mà BD=BA

⇒ED là trung trực của AD

⇒EA=ED (tính chất đường trung trực trong Δ)

⇒ΔEAD cân

c) Ta có: BD=BA

⇒CB là trung tuyến

Ta có: $\frac{EB}{BC}$ = $\frac{4}{12}$ = $\frac{1}{3}$ (1)

Ta có: EB< BC ⇒ E nằm giữa B và C (2)

Từ (1), (2) ⇒ E là trọng tâm 

                ⇒ AE là trung tuyến mà AE cắt DC tại K

                ⇒ AK là trung tuyến ứng cạnh DC

                ⇒ DK=KC (tính chất trung tuyến trong Δ)

                ⇒ K là trung điểm DC