c)

Từ câu b có được tỉ lệ $\dfrac{BF}{BC}=\dfrac{BD}{BA}$

Suy ra được $\Delta BFD\backsim\Delta BCA\left( c.g.c \right)$

$\Rightarrow \dfrac{BF}{BC}=\dfrac{FD}{AC}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Và cũng từ $\Delta BFD\backsim\Delta BCA\left( c.g.c \right)$

Suy ra được $\widehat{BFD}=\widehat{BCA}$

Tức là $\widehat{BFK}=\widehat{BCE}$

Và có được $\Delta BFK\backsim\Delta BCE\left( g.g \right)$

$\Rightarrow \dfrac{BF}{BC}=\dfrac{BK}{BE}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ $\Rightarrow \dfrac{FD}{AC}=\dfrac{BK}{BE}\Rightarrow BK.AC=BE.FD$

d)

Theo tính chất đối xứng thì ta có:

$EM=EH$ và $DN=DH$ và $FP=FH$

Ta có:

+  ${{S}_{\Delta HAC}}=\dfrac{1}{2}EH\cdot AC$

+  ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}EB\cdot AC$

$\Rightarrow \dfrac{{{S}_{\Delta HAC}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}=\dfrac{EH}{EB}=\dfrac{EM}{EB}$

Hoàn toàn tương tự:

Ta có được:

+  $\dfrac{{{S}_{\Delta HBC}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}=\dfrac{DH}{DA}=\dfrac{DN}{DA}$

+  $\dfrac{{{S}_{\Delta HAB}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}=\dfrac{FH}{FC}=\dfrac{FP}{FC}$

Cộng vế theo vế lại, ta được:

$\,\,\,\,\,\dfrac{{{S}_{\Delta HAC}}+{{S}_{\Delta HAB}}+{{S}_{\Delta HBC}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}=\dfrac{EM}{EB}+\dfrac{DN}{DA}+\dfrac{FP}{FC}$

$\Rightarrow \dfrac{{{S}_{\Delta ABC}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}=\dfrac{EM}{EB}+\dfrac{DN}{DA}+\dfrac{FP}{FC}$

$\Rightarrow 1=\dfrac{EM}{EB}+\dfrac{DN}{DA}+\dfrac{FP}{FC}$