Ta có: $a^2+b^2+c^2≥b^2+c^2 ∀a,b,c$

Mà theo bđt Cauchy thì $b^2+c^2≥2bc;∀b,c$

$⇒2=a^2+b^2+c^2≥2bc$

$⇒1≥bc$

$⇒1-bc≥0$

Ta có $P=a+b+c-abc$

$⇒P^2=(a+b+c-abc)^2$
$=[b+c+a(1-bc)]^2$

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta được:

$[1.(b+c)+a(1-bc)]^2≤[(b+c)^2+a^2][1^2+(1-bc)^2]$j

$=[b^2+c^2+a^2+2bc][b^2c^2-2bc+2]$
$=(2+2bc).(b^2c^2-2bc+2)$

$=4-2b^2c^2(1-bc)≤4$(do $1-bc≥0;b^2c^2≥0∀b;c$)

Hay $P^2≤4$

$⇒-2≤P≤2$

Dấu `=` xảy ra $⇔1-bc=0;b^2c^2=0;a^2+b^2+c^2=2;(b+c)^2.(1-bc)^2=a^2⇔a=0$

Khi $Max_{P}=2⇔P≥0⇔b+c≥0;do a=0;1-bc≥0$ kết hợp với trên ta có 

\(\left[ \begin{array}{l}b=0;a=0;c=\sqrt[]2\\b=\sqrt[]2;a=0;c=0\end{array} \right.\)

Chứng minh tương tự $Min_P=-2$ khi 

\(\left[ \begin{array}{l}b=0;a=0;c=-\sqrt[]2\\b=-\sqrt[]2;a=0;c=0\end{array} \right.\)

Ta có : $a^2+b^2+c^2 ≥ b^2+c^2$

Mà : $b^2+c^2 ≥ 2bc$ 

$\to a^2+b^2+c^2 ≥ 2bc \to 2 ≥ 2bc \to bc ≤ 1$ $\to 1-bc ≤ 0 $

Xét $P^2 = (a+b+c-abc)^2$

$=[(b+c)+a.(1-bc)]^2$

$≤[(b+c)^2+a^2].[1^2+(1-bc)^2]$ ( Theo Bunhiacopxki )

$= (2+2bc).(b^2c^2+2-2bc)$

$ = 4-2b^2c^2.(1-bc)  ≤ 4$

$\to -2≤P≤2$

Vậy $P_{min} = -2$ và $P_{max} = 2$