Ta có $O$ là giao 2 đường trung trực của $AB;AC$

$⇒O$ là giao 3 đường trung trực $ΔABC$

$⇒OA=OB=OC$

$⇒ΔOAB;ΔOAC$ cân tại $A$

$⇒\widehat{OBA}=\widehat{OAB}(1);\widehat{OAC}=\widehat{OCA}(2)$

$M∈$ đường trung trực của $AB⇒MA=MB⇒ΔMAB$ cân tại $M⇒\widehat{MAB}=\widehat{MBA}(3)$

$N∈$ đường trung trực của $AC⇒NA=NC⇒ΔNAC$ cân tại $N⇒\widehat{NAC}=\widehat{NCA}(4)$

Từ $(1);(3)⇒\widehat{OBA}-\widehat{MBA}=\widehat{OAB}-\widehat{MAB}$

Hay $\widehat{OBM}=\widehat{OAM}=\widehat{OBC}(5)$

Chứng minh tương tự với $(2)(4)$ ta có: $\widehat{OAC}-\widehat{NAC}=\widehat{OCA}-\widehat{NCA}$

Hay $\widehat{OAN}=\widehat{OCN}=\widehat{OCB}(6)$

Mà $OB=OC(cmt)⇒\widehat{OBC}=\widehat{OCB}(7)$

Từ $(5)(6)(7)⇒\widehat{OBM}=\widehat{OAN}$

Hay $AO$ là phân giác $\widehat{MAN}$

 Xét ΔBHM (∠BHM = 90độ) và ΔAHM (∠AHM = 90độ)          

          BH = HA (gt)         

          MH chung

=> ΔBHM = ΔAHM (2 cạnh góc vuông)

=> ∠M1 = ∠M2 (2 góc tương ứng)

mà ∠M1 = ∠M4 (2 góc đối đỉnh)     

      ∠M2 =  ∠M3 (2 góc đối đỉnh)

Nên ∠M3 = ∠M4

Chứng minh tương tự như trên, ta có:        

        ∠N₃ = ∠N₄

=> ΔMAN có phân giác góc ngoài NMx và MNy cắt nhau tại O

=> AO là phân giác góc MAN (đpcm)

Chúc bạn học tốt

Xin ctlhn ạ