Giải thích các bước giải:

1.Vì $M$ là trung điểm $BC\to MB=MC$

Ta có: $MD, ME$ là phân giác $\widehat{AMB},\widehat{AMC}$

$\to\dfrac{DA}{DB}=\dfrac{MA}{MB}=\dfrac{MA}{MC}=\dfrac{EA}{EC}$

$\to DE//BC$

2.Ta có: $DE//BC$

$\to\dfrac{GD}{MB}=\dfrac{AG}{AM}=\dfrac{GE}{MC}$

$\to GD=GE$

$\to G$ là trung điểm $DE$

Để $G$ là trung điểm $AM$

$\to ADME$ là hình bình hành

Mà $MD, ME$ là phân giác hai góc kề bù

$\to MD\perp ME$

$\to MDAE$ là hình chữ nhật

$\to AB\perp AC$

$\to\Delta ABC$ vuông tại $A$

3.Ta có:

$BC^2=AB^2+AC^2$

$\to \Delta ABC$ vuông tại $A$

$\to S_{ABC}=\dfrac12AB\cdot AC=96$

Vì $M$ là trung điểm $BC\to MB=MC=\dfrac12BC=10$

Ta có: $AN$ là phân giác $\hat A$

$\to\dfrac{NB}{NC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{5}$

$\to \dfrac{NB}{NB+CN}=\dfrac3{3+5}$

$\to\dfrac{NB}{BC}=\dfrac38$

$\to NB=\dfrac38BC=7.5$

$\to MN=MB-BN=2.5$

$\to S_{AMN}=\dfrac{MN}{BC}\cdot S_{ABC}=12$