Xét $n^{2}$ +n+9

     =$n^{2}$ +4n-3n+9

     =n(n+4)-3(n+4)+21

     =(n-3)(n+4)+21

Giả sử tồn tại số nguyên n để $\frac{n^2+n+9}{49}$ là số nguyên

⇒ $n^{2}$ +n+9 chia hết cho 49

⇒(n-3)(n+4)+21 chia hết cho 49

      Mà 49 chia hết cho 7

⇒(n-3)(n+4)+21 chia hết cho 7

      Mà 21 chia hết cho 7

⇒(n-3)(n+4) chia hết cho 7

     Mà 7 nguyên tố

⇒n-3 chia hết cho 7 hoặc n+4 chia hết cho 7

Xét hiệu: (n+4)-(n-3)

               =n+4-n+3

               =(n-n)+(4+3)

               =0+7

               =7

Vì 7 chia hết cho 7

⇒(n+4)-(n-3) chia hết cho 7

+)Có (n+4)-(n-3) chia hết cho 7

    Mà n+4 chia hết cho 7

⇒n-3 chia hết cho 7

+)Có (n+4)-(n-3) chia hết cho 7

   Mà n-3 chia hết cho 7

⇒n+4 chia hết cho 7

Ta có n-3 chia hết cho 7

         n+4 chia hết cho 7

⇒(n-3)(n+4) chia hết cho 7.7

⇒(n-3)(n+4) chia hết cho 49

Mà (n-3)(n+4)+21 chia hết cho 49

⇒21 chia hết cho 49

⇒Vô lý

⇒Giả sử sai

Vậy không tồn tại số nguyên n để$\frac{n^2+n+9}{49}$ là số nguyên.

Đáp án:

Giải thích các bước giải: