Đáp án:

1)

Xét ΔABH và ΔDBA có:

+ góc ABH chung

+ góc AHB = góc DAB = 90 độ

=> ΔABH ~ ΔDBA (g-g)

2) Do: ΔABH ~ ΔDBA

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{BD}} = \dfrac{{BH}}{{AB}}\\
 \Rightarrow \dfrac{3}{{\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} }} = \dfrac{{BH}}{3}\\
 \Rightarrow BH = \dfrac{9}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \dfrac{9}{5} = 1,8\left( {cm} \right)\\
 \Rightarrow DH = BD - BH = 5 - 1,8 = 3,2\left( {cm} \right)
\end{array}$

3)

Trong tam giác AHB có: MI//AB

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \dfrac{{MI}}{{AB}} = \dfrac{{HM}}{{HB}} = \dfrac{2}{3}\\
 \Rightarrow \dfrac{{MI}}{{AB}} = \dfrac{{DN}}{{DC}} = \dfrac{2}{3}\\
 \Rightarrow MI = DN\left( {do:AB = DC} \right)
\end{array}$

Xét: tứ giác DNMI có: DN//MI; DN = MI

=> DNMI là hình bình hành

=> DI//MN

Xét tam giác AMD có: AH ⊥ DM; MI ⊥AD (do MI//AB)

AH và MI cắt nhau tại I

=> I là trực tâm 

=> DI ⊥ AM 

=> MN ⊥AM