Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a) Gọi O là tâm hình vuông ABCD

Ta có: $BD\perp SA; BD\perp AC=O\to BD\perp (ABCD)$

b) Ta có:

$SA\perp (ABCD)\ to AM$ là hình chiếu của $SM$ trên $(ABCD)$

$\to (SM,(ABCD))=(SM,AM)=\widehat{SMA}$

$\tan \widehat{SMA}=\dfrac{SA}{AM}=\dfrac{SA}{\sqrt{AB^2+BM^2}}=\dfrac{SA}{\sqrt{AB^2+(\dfrac{BC}{2})^2}}= \dfrac{a\sqrt{10}}{\sqrt{a^2+(\dfrac{a}{2})^2}}=2\sqrt{2}$

$\to (SM,(ABCD))=arctan(2\sqrt{2})$

c) Gọi F là giao điểm của MN và AC. kẻ AK vuông góc với SF tại K.

Có: $MN// BD$ vì MN là đường trung bình của $\Delta BCD$ $\to F $ là trung điểm $OC$ $to AF=\dfrac{3}{4}.AC=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$

Ta có: $d(SM,BD)=d(BD,(SMN))$ 

$\to d(SM,BD)=d(O,(SMN))=\dfrac{1}{3}.d(A,(SMN))$(1)

Có: $AF\perp MN; SA\perp MN \to MN\perp (SAF) \to MN\perp AK$ và $AK\perp SF$ $\to AK\perp (SMN)\to d(A,(SMN))=AK$(2)

Từ (1),(2) $\to d(SM,BD)=\dfrac{1}{3}.AK$(*)

Ta có: 

$\begin{array}{l}
\dfrac{1}{{A{K^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{F^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {a\sqrt {10} } \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{3}{4}.a\sqrt 2 } \right)}^2}}} = \dfrac{{89}}{{90{a^2}}}\\
 \Rightarrow AK = \dfrac{{3\sqrt {890} }}{{89}}
\end{array}$(**)

Từ (*),(**) $\to d(SM,BD)=\dfrac{{\sqrt {890} }}{{89}}$

Vậy $d(SM,BD)=\dfrac{{\sqrt {890} }}{{89}}$