4.

a,

$AM=\dfrac{1}{2}EF, CM=\dfrac{1}{2}EF$

$=>AM=CM$

$=>M$ nằm trên đường trung trực của $AC$

$D,B$ cũng nằm trên đường trung trực của $AC$

$=>M,B,D$ thẳng hàng

b,

$\widehat{ACE}+\widehat{ECB}=45^o$

$\widehat{BCM}+\widehat{ECB}=45^o$

$=>\widehat{ACE}=\widehat{BCM}$

$\widehat{EAC}=135^o, \widehat{MBC}=135^o$

$=> \widehat{EAC}=\widehat{MBC}=135^o$

Do đó: Tam giác $EAC$ đồng dạng Tam giác $MBC$ (g.g)

c,

Tứ giác $ACFE$ mới đúng.

Đặt $BN=x(x>0)$

Do đó $AN=a-x$

Áp dụng hệ quả Talet vào Tam giác $EDC$ ta được:

$\dfrac{AN}{CD}=\dfrac{AE}{DE}$

$=>\dfrac{a-x}{a}=\dfrac{AE}{AE+a}$

$=> aAE=(AE+a)(a-x)=AE(a-x)+a(a-x)$

$=>aAE-AE(a-x)=a(a-x)$

$=>AE(a-a+x)=a(a-x)$

$=>AE=\dfrac{a(a-x)}{x}$

Theo Pytago có: $CE^2=DE^2+CD^2=(AD+AE)^2 + a^2$

$= (a +\dfrac{a(a-x)}{x})^2 +a^2$

$= a^2 + (\dfrac{ax+a^2-ax}{x})^2$

$=a^2 + \dfrac{a^4}{x^2}$

$S_{ACFE}=S_{ACE}+S_{ECF}$

$=\dfrac{1}{2}.CD.AE +\dfrac{1}{2}.CE.CF$

$=\dfrac{1}{2}.CD.AE+\dfrac{1}{2}.CE^2$

$=\dfrac{1}{2}.a.\dfrac{a(a-x)}{x}+\dfrac{a^4}{2x^2}+\dfrac{1}{2}a^2$

$= \dfrac{a^2(a-x)}{2x}+\dfrac{a^4}{2x^2}+\dfrac{a^2}{2}$

$=\dfrac{xa^3-x^2a^2 + a^4 + a^2x^2}{2x^2}$

$=\dfrac{a^3 (x+a)}{2x^2}$

$S_{ABCD}=a^2$

$S_{ACFE}=3S_{ABCD}$

$=>\dfrac{a^3(x+a)}{2x^2}=3a^2$

$<=> a^3x+a^4=6 a^2x^2$

$<=>a^3x + a^4-6a^2x^2=0$

Chia 2 vế cho $a^2\ne 0$ ta được:

$6x^2-a^2 -ax=0$

$<=> 6x^2 - 3ax +2ax -a^2=0$

$<=>3x(2x-a) + a(2x-a)=0$

$<=>(2x-a)(3x+a)=0$

$<=>2x=a, 3x=-a(L)$

Với $2x=a$

$<=>x=\dfrac{a}{2}=> BN=\dfrac{AB}{2}$

$=>N$ là trung điểm của $AB$

5.

Áp dụng BĐT Cô-si ta được:

$a+b>=2\sqrt{ab}$

$=> 2\sqrt{ab}=< a+b=<1$

$=> \sqrt{ab}=<\dfrac{1}{2}$

$=> ab=<\dfrac{1}{4}$

$=>b=<\dfrac{1}{4a}$

$=>\dfrac{1}{b}>=4a$

$=> \dfrac{-a}{b}=< -4a^2$

$=>A=< a^2-\dfrac{3}{4a}-4a^2=-3a^2 -\dfrac{3}{4a}$

$=-(3a^2+\dfrac{3}{4}a)$

$=-(3a^2+\dfrac{3}{8a}+\dfrac{3}{8a})$

$=< -3.\sqrt[3]{3a^2 . \dfrac{3}{8a}.\dfrac{3}{8a}}$

$=< \dfrac{-9}{4}$

Dấu '$=$" xảy ra khi: $a=b=\dfrac{1}{2}$

$A_{max}=\dfrac{-9}{4}<=>a=b=\dfrac{1}{2}$