Đáp án:

$A(3;-5) ; B(1;3); C(-2;-10)$

Ta có: 

Vecto $AB=($ $x_{B}-$ $x_{A}$; $y_{B}-$ $y_{A}$ $)$

$⇒$ Vecto $AB=(1-3;(3+5) ⇒$ Vecto $AB=(-2;8)$

$⇒$ Vecto pháp tuyển của $AB$ là: $n=(8;2)$

Vì phương trình cạnh $AB$ có dạng:

$a(x-x0)+b(y-y0)=0$

$⇔ 8(x-3)+2(y+5)=0$

$⇔ 8x-24+2y+10=0$

$⇔ 8x+2y-14=0$

$⇔ 4x+y-7=0$

Vecto $AC=($ $x_{C}-$ $x_{A}$; $y_{C}-$ $y_{A}$ $)$

$⇒$ Vecto $AC=(-2-3;-10+5)$

$⇔$ Vecto $AC=(-5;-5)$

$⇒$ Vecto pháp tuyến của $AC$ là $n=(-5;5)$

Vì phương trình cạnh $AC$ có dạng 

$a(x-x0)+b(y-y0)=0$

$⇔(-5)(x-3)+5(y+5)=0$

$⇔ -5x+15+5y+25=0$

$⇔ -5x+5y+40=0$

$⇔ x-y-8=0$

$b)$ Gọi $K(x;y)$ là tọa độ hình chiếu của điểm $C$ lên đoạn thẳng $AB$ 

Ta có: vecto chỉ phương của$ AB $là $u=(-2;8) $

$⇒$ Vecto pháp tuyến $CK$ là $n=(-2;8)$ 

Vì phương trình đường thẳng cạnh $CK$ có dạng:

$a(x-x0)+b(y-y0)=0$

$⇔ (-2)(x+2)+8(y+10)=0$

$⇔ -2x-4+8y+80=0$

$⇔ -2x+8y+76=0$

$⇔ -2(x-4y-38)=0$

$⇔ x-4y-38=0$

$⇒ x-4y=38 (1)$ 

Vì phương trình đường thẳng $AB$ có dạng:

$4x+y-7=0 ⇒ 4x+y=7 (2)$

Từ $(1)$ và $(2),$ ta có hệ phương trình

$\left \{ {{x-4y=38} \atop {4x+y=7}} \right.$ $⇔$ $\left \{ {{x=66/17} \atop {y=-145/17}} \right.$

Vậy hình chiếu điểm $C$ trên đường thẳng $AB$ có tọa độ là ($\dfrac{66}{17}$; $\dfrac{-147}{17}$ )

BẠN THAM KHẢO NHA!!!

Đáp án: $a. AC: -x+y+8=0$

                  $AB: 4x+y-7=0$

             $b. H(\dfrac{66}{17},\dfrac{-145}{17})$

Giải thích các bước giải:

a.Phương trình đường thẳng $AC$ là :

$\dfrac{x-3}{-2-3}=\dfrac{y-(-5)}{-10-(-5)}$

$\to -x+y+8=0$

Phương trình đường thẳng $AB$ là : 

$\dfrac{x-3}{1-3}=\dfrac{y-(-5)}{3-(-5)}$

$\to 4x+y-7=0$

b.Gọi $CH\perp AB=H$

Ta có $\vec{AB}=(-2,8)\to \vec{u}=(1,-4)$ là vector chỉ phương của $AB$

Mà $AB\perp CH\to \vec{u}$ là vector pháp tuyến của $CH$

$\to$Phương trình $CH$ là :
$1(x-(-2))-4(y-(-10))=0\to x-4y-38=0$

Vì $AB\cap CH=H$

$\to$Tọa độ điểm $H$ là nghiệm của hệ:

$\begin{cases}x-4y-38=0\\4x+y-7=0 \end{cases}$

$\to\begin{cases}x=\dfrac{66}{17}\\y=\dfrac{-145}{17} \end{cases}$

$\to H(\dfrac{66}{17},\dfrac{-145}{17})$