Đáp án:

$C.\ 8$

Giải thích các bước giải:

Xét $h(x) = f(x) +3x$

$\Rightarrow h'(x) = f'(x) +3$

$h'(x) = 0 \Leftrightarrow f'(x) =- 3 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = -1\\x = 0\\x = 1\\x = 2\quad \text{(nghiệm kép)}\end{array}\right.$

Bảng xét dấu $h(x):$

$\begin{array}{c|ccc}x&-\infty&&-1&&0&&1&&2&&+\infty\\\hline h'(x)&&-&0&+&0&-&0&+&0&+\end{array}$

Dựa vào bảng xét dấu, ta được:

Hàm số $y = h(x)$ đạt cực đại tại $x =0$

Ta lại có: $f(0) < 0$

$\Leftrightarrow f(0) + 3.0 < 0$

$\Leftrightarrow h(0) < 0$

Ta được bảng biến thiên $h(x)$ như hình vẽ

$\Rightarrow y = h(x)$ cắt $y =0$ tại hai điểm. Gọi $a;b$ lần lượt là hoành độ của hai giao điểm

$\Rightarrow h(a)= h(b) = 0 > h(0) > h(-1;);\ h(1)$

Đồ thị hàm số $h(|x|)$ thu được bằng cách giữ nguyên phần nằm bên phải trục tung của đồ thị hàm số $y = h(x)$ và lấy đối xứng phần này sang bên trái trục tung

Đồ thị hàm số $y=  g(x) = |h(|x|)|$ thu được bằng cách giữ nguyên phần nằm trên trục hoành của đồ thị hàm số $y = h(|x|)$ và lấy đối xứng qua trục hoành phần nằm bên dưới trục hoành

Ta được bảng biến thiên $g(x)$ như hình vẽ

Dựa vào bảng biến thiên, ta được:

- Hàm số $y = g(x)$ đạt cực đại tại $x = -1;\ x = 1 \Rightarrow m = 2$

- Hàm số $y =g(x)$ đạt cực tiểu tại $x = a; x = 0; x = b\Rightarrow n = 3$

Vậy $m^n = 2^3 = 8$