Đáp án: D

Giải thích các bước giải:

Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AB, CD. Kẻ SH vuông góc với EF tại H. Gọi N,I lần lượt là giao điểm của BM với AH và AD.

+Ta có:

$\Delta SAB$ đều $\Rightarrow SE\perp AB$

$\Delta SCD$ vuông cân tại S $\Rightarrow SF\perp CD$ $\Rightarrow SF\perp AB$

Khi đó: $AB\perp(SEF)$$\Rightarrow SH\perp AB$ mà $SH\perp EF$ $\Rightarrow SH\perp (ABCD)$

+Ta có:

$BM \perp SA$ và $BM\perp SH$(Do $SH\perp (ABCD)$) nên $BM\perp (SAH)$

$\Rightarrow BM \perp AH$

+Ta có:

$\Delta SEF$ có $SE=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}; SF=\dfrac{a}{2};EF=a$

$\Rightarrow \Delta SEF$ vuông tại S $\Rightarrow \dfrac{1}{SH^2}=\dfrac{1}{SE^2}+\dfrac{1}{SF^2}=\dfrac{1}{\left({\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}\right)^2}+\dfrac{1}{\left({\dfrac{a}{2}}\right)^2}=\dfrac{16}{3a^2}\Rightarrow SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$

Khi đó: $EH=\dfrac{3}{4}a$ 

Ta có: $tan\widehat{HAE}=\dfrac{\dfrac{3}{4}a}{\dfrac{a}{2}}=\dfrac{3}{2}$.

Do $AN\perp BI$ nên $\widehat{BAN}=\widehat{BIA}\Rightarrow tan \widehat{BIA}=\dfrac{3}{2}\Rightarrow \dfrac{AB}{AI} =\dfrac{3}{2}\Rightarrow AI=\dfrac{2}{3}a \Rightarrow DI=\dfrac{1}{3}a$ 

Áp đụng ĐL Talet ta có: $\dfrac{DM}{AB}=\dfrac{DI}{AI}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow DM=\dfrac{a}{2}$

Suy ra: $S_{BDM}=\dfrac{1}{2}.a.\dfrac{a}{2}=\dfrac{a^2}{4}$

Khi đó: $V_{S.BDM}=\dfrac{1}{3}.SH.S_{BDM}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.\dfrac{a^2}{4}=\dfrac{a^3\sqrt{3}}{48}$.

Vậy $V_{S.BDM}=\dfrac{a^3\sqrt{3}}{48}$