Đáp án:

a)$ x+8y-10=0$
b)
$S_{\Delta ABC}=2$
c)
$(x+\dfrac{29}{2})^2+(y-3)^2=\dfrac{1105}{4}$

Giải thích các bước giải:

a)Gọi d là phương trình đường cao cần tìm
 $\overrightarrow{BC}=(1;8)$
Do hai đường thẳng vuông góc nên vecto pháp tuyến của đường cao là $\overrightarrow{d}=(1;8)$ 
Phương trình đường thẳng d đi qua $A(2;1)$ và nhận $\overrightarrow{d}=(1;8)$ làm vecto pháp tuyến có dạng
$1(x-2)+8(y-1)=0\\
\Leftrightarrow x-2+8y-8=0\\
\Leftrightarrow x+8y-10=0$
b)
$\overrightarrow{BC}=(1;8)\Rightarrow \overrightarrow{n_{BC}}=(8;-1)$
$\Rightarrow BC=\sqrt{1^2+8^2}=\sqrt{65}$
Phương trình đường thẳng BC đi qua $B(1;-3)$ và nhận $\overrightarrow{n_{BC}}=(8;-1)$ làm vetco pháp tuyến có dạng
$8(x-1)-(y+3)=0\\
\Leftrightarrow 8x-8-y-3=0\\
\Leftrightarrow 8x-y-11=0$
$d(A,BC)=\dfrac{|8.2-1-11|}{\sqrt{8^2+(-1)^2}}=\dfrac{4\sqrt{65}}{65}\\
S_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}.BC.d(A,BC)=\dfrac{1}{2}.\sqrt{65}.\dfrac{4\sqrt{65}}{65}=2$
c)
Gọi phương trình đường tròn có dạng $(C): x^2+y^2-2ax-2by+c=0$
ta có $A(2;1)\in (C)\Rightarrow 2^2+1^2-4a-2b+c=0\\
\Rightarrow -4a-2b+c=-5\\
B(1;-3)\in (C)\Rightarrow 1^2+(-3)^2-2a+6b+c=0\\
\Rightarrow -2a+6b+c=-10\\
C(2;5)\in (C)\Rightarrow 2^2+5^2-4a-10b+c=0\\
\Rightarrow -4a-10b+c=-29$
Ta có hệ phương trình
${\left\{\begin{aligned}-4a-b+c=-5\\-2a+6b+c=-10\\ -4a-10b+c=-29\end{aligned}\right.}\\
\Leftrightarrow {\left\{\begin{aligned}a=\dfrac{-29}{2}\\b=3\\ c=-57\end{aligned}\right.}\\
 \Rightarrow I=\left ( \dfrac{-29}{2};3 \right )\\
\Rightarrow R=\sqrt{a^2+b^2-c}=\dfrac{\sqrt{1105}}{2}$
Phương trình đường tròn có dạng
$(x+\dfrac{29}{2})^2+(y-3)^2=\dfrac{1105}{4}$