a) Xét Δ BMC và Δ DMA:

AM=MC (M là trung điểm AC)

∠AMD=∠BMC (đối đỉnh)

BM=DM (gt)

⇒ Δ BMC=Δ DMA (c-g-c)

⇒ ∠MAD=∠MCB (2 góc tương ứng)

mà 2 góc ở vị trí so le trong 

⇒ AD // BC

b) Xét Δ BMA và Δ DMC:

AM=MC (M là trung điểm AC)

∠BMA=∠DMC (đối đỉnh)

MB=MD (gt)

⇒ Δ BMA = Δ DMC (c-g-c)

⇒ AB=DC mà AB=AC

⇒DC=AC

⇒ ΔBCD cân tại C

`A)` Xét $\Delta BMC$ và $\Delta DMA$, ta có:
$\begin {cases} DM = BM(gt) \\ MA = MC (M \text{ là trung điểm của } BC) \\ \widehat{AMD} = \widehat{CMB}(2\text{ góc đối đỉnh}) \end {cases}$

$\Rightarrow \Delta BMC = \Delta DMA(c - g - c)$

$\Rightarrow \widehat{MAD} = \widehat{MCB}$(2 góc tương ứng)

Mà $\widehat{MAD}$ và $\widehat{MCB}$ ở vị trí so le trong

$\Rightarrow AD // BC$

`B)` Xét $\Delta BMA$ và $\Delta DMC$, ta có:
$\begin {cases} DM = BM(gt) \\ MA = MC (M \text{ là trung điểm của } BC) \\ \widehat{AMB} = \widehat{CMD}(2\text{ góc đối đỉnh}) \end {cases}$

$\Rightarrow \Delta BMA = \Delta DMC(c - g - c)$
$\Rightarrow AB = CD$(2 cạnh tương ứng)

Mà $AB = AC(\Delta ABC$ cân tại $A)$

$\Rightarrow AC = CD$

$\Rightarrow \Delta ACD$ cân tại $C$