Đáp án:

a) Tứ giác AEHF có 3 góc vuông tại A, E,F

=> AEHF là hình chữ nhật

=> AH = EF

b)

Xét ΔABH và ΔCBA có:

+ góc ABH chung

+ góc AHB  = góc CAB = 90 độ

=> ΔABH ~ ΔCBA (g-g)

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{BH}}{{AB}}\\
 \Rightarrow A{B^2} = BH.BC
\end{array}$

c)

Xét ΔABH và ΔCAH có:

+ góc ABH = góc CAH  (cùng phụ với góc C)

+ góc AHB  = góc CHA = 90 độ

=> ΔABH ~ ΔCAH (g-g)

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{BH}}{{AH}}\\
 \Rightarrow A{H^2} = CH.BH
\end{array}$

d)

Do M là trung điểm của cạnh huyền BC

=> AM = BM = CM

=> tam giác AMB và AMC cân tại M

=> góc MAC = góc MCA ; góc MAB = góc MBA

Lại có: góc EFA = góc ABC= góc MAB

=> góc IFA + góc MAF = góc MAF + góc MAE = 90 độ

=> góc AIF = 90 độ

=> AM vuông góc với EF tại I.