Đáp án:

 a) Xét ∆ABH và ∆AHC có:

AB=AC (gt)

góc AHB= góc AHC =90°

AH chung

=> ∆ABH = ∆AHC (c/h-cgn)

b) Ta có: AH  vuông góc với BC (gt)

=> góc AHC =90°

=> ∆AHC vuông tại H

=> AH²+HC²=AC² (định lí Pytago)

Thay AH=12, AC=13 ta được:

12²+HC²= 13²

144+HC²=169

         HC²=25

Vì HC là đd cạnh của ∆ nên HC > 0

=> HC = 5 cm

Vì ∆ABH=∆AHC (cm a)

nên BH=HC (2 cạnh t/ ứ)

mà HC = 5cm

=> BC = 5cm

Ta có: BH+HC=BC

Thay BH = 5, HC = 5 ta được:

5+5=BC

10=BC

Vậy BC = 10 cm

c)Vì tam giác ABC cân

nên góc B= góc C

Xét ∆HMB và ∆HNC có :

góc BMH = góc HNC( = 90 độ ) 

BH=HC( cm b )

góc B = góc C ( cmt ) 

=> ∆HMB=∆HNC( cạnh huyền - góc nhọn )

=> MH = HN ( cặp cạnh tương ứng ) Gọi I là giao điểm của AH và MN

Vì ∆HMB = ∆HNC ( cmt )

nên BM = CN ( cặp canh t / u )

mà AB = AC ( tam giác ABC cân tại A ) => AB - BM = AC - CN

=> AM = AN

=> ∆ AMN cân tại A ( d / h )

Vì tam giác ABC cân tại A 

nên đường cao đồng thời là đường phân giác

=> AH là tia phân giác của góc BAC

hay AI là tia phân giác của góc BAC

Vì tam giác AMN cân nên phângiác đồng thời là đường cao , đường trung tuyến ( t / c )

=> AI là đường cao đồng thời là trung tuyến của tam giác AMN

=> AH vuông góc MN tại I và I là trung điểm của HK

=> AM là đường trung trực của MN (d/h)

Giải thích các bước giải:

Gt : ∆ABC cân tại A

       AH vuông góc với BC (H thuộc BC)

       AB=AC=13cm; AH=12cm

      HM vuông góc với AB(M thuộc AB)

      HN vuông góc với AC(N thuộc AC)

KL: a) ∆ABC=∆AHC

       b) BC =?

       c) AH là đường trung trực của MN