a)

Ta có: D là trung điểm của AB(gt)

           E là trung điểm của BC(gt)

⇒DE là đường trung bình của ΔABC

⇒DE//AC(tính chất đường trung bình của tam giác)

   DE=$\frac{1}{2}$ AC(tính chất đường trung bình của tam giác)

⇒FE//AC(vì D∈FE)(1)

Ta có: DE=$\frac{1}{2}$FACđã nêu ở rtên)

Mà : DF=DE(gt)

Nên: DF=$\frac{1}{2}$AC

⇒DE+DF=$\frac{1}{2}$AC+$\frac{1}{2}$AC=AC=FE

⇒FE=AC(2)

Từ (1) và (2), ta suy ra:

FACE là hình bình hành(vì từ giác có 2 cạnh đối vừa song song, vừa bằng nhau)

b)

Ta có: FE//AC(đã nêu ở câu a)

          góc BAC và góc BDE nẳm ở vị trí đồng vị

⇒góc BAC=góc BDE

Mà: góc BAC=90 độ(vì ΔABC vuông tại A)

Nên: góc BDE= 90 độ

⇒BA vuông góc với FE tại D

Ta có: DF=DE

Mà: 3 điểm F,D,E thẳng hàng

Nên: D là trung điểm của FE

Mà: D là trung điểm của AB(gt)

Nên:AEBT là hình bình hành(vì tứ giác có 2 đươòng chéo chắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

Mà: BA vuông góc với FE tại D(đã nêu ở trên)

Nên: AEBF là hình thoi  (vì hình bình hành có thêm 2 đường chéo vuông góc với nhau)