Đáp án+Giải thích các bước giải:

`a,`

Xét `\triangle ABD` có:

`BH` vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến

`=> \triangle ABD` cân tại `B`

`=> BA=BD` (`2` cạnh của `\triangle` cân)

Vậy `AB=DB`

`b,`

`\triangle ABD` cân tại `B` có `BH` là đường cao

`=>` Đồng thời là đường phân giác

`=> \hat{ABC}=\hat{DBC}`

Xét `\triangle BAC` và `\triangle BDC` có:

`BA=BD` (cmt)

`BC` chung

`\hat{ABC}=\hat{DBC}`

Nên `\triangle BAC=\triangle BDC (c-g-c)`

`=> \hat{CAB}=\hat{CDB}`

`=> \hat{CDB}=90^o`

`c,`

Từ `\triangle BAC=\triangle BDC`

`=> AC=DC` (`2` cạnh tương ứng)

`=> AC^2=DC^2`

Xét `\triangle BDH` vuông tại `H` có:

`BD^2=BH^2+DH^2`

`=> HB^2=BD^2-HD^2`

`=> AC^2+HB^2=CD^2+BD^2-HD^2`

Áp dụng định lý Pytago vào `\triangle BCD` vuông tại `D`

`BC^2=BD^2+CD^2`

`=> AC^2+HB^2=BC^2-HD^2`

`AB=DB`

`=> AB^2=BD^2`

`=> AB^2+HC^2=BD^2+HC^2`

Lại có: `HC^2=CD^2-DH^2`

`=> AB^2+HC^2=BD^2+CD^2-DH^2`

`=> AB^2+HC^2=BC^2-DH^2`

Vậy `AC^2+HB^2=AB^2+HC^2`

`d,`

Xét `\triangle ABC` vuông tại `A` có:

`\hat{B}+\hat{C}=90^o`

`=> 2\hat{C}+\hat{C}=90^o`

`=> 3\hat{C}=90^o`

`=> \hat{C}=30^o`

`=> \hat{B}=60^o`

`=> \hat{DBH}=60^o`

Mà `AE //// BD`

Nên `\hat{DBH}=\hat{AEB}=60^o`

`=> \triangle ABE` đều.

Ko bt