Đáp án:

a) $\Delta ABD=\widehat{EBD}$ ; BC=15 cm

b) $DE\perp BC$ ; DC>AD

c) $\Delta DFC$ cân tại D

d) M,D,N thẳng hàng

Giải thích các bước giải:

a) Xét $\Delta ABD$ và $\Delta EBD$ có:
BA=BE (gt)
$\widehat{ABD}=\widehat{EBD}$ (BD là phân giác của $\widehat{ABC}$)
AD chung
$\Rightarrow \Delta ABD=\widehat{EBD}$ (cạnh huyền - góc nhọn) (*)
Xét tam giác ABC vuông tại A có:
$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}=9^{2}+12^{2}=225$
$\Rightarrow BC=\sqrt{225}=15$ (cm)
b) Từ (*)$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
\widehat{BEA}=90^{0}\Leftrightarrow DE\perp BC\\ 
AD=DE
\end{matrix}\right.$
Xét $\Delta DEC$ có: DC>DE (trong tam giác vuông cạnh huyền lớn nhất)
$\Rightarrow DC>AD$
c) Xét $\Delta ADF$ và $\Delta EDC$ có:
$\widehat{FAD}=\widehat{CED} (=90^{0})$
AD=DE (cmt)
$\widehat{ADF}=\widehat{EDC}$ (đối đỉnh)
$\Rightarrow \Delta ADF=\Delta EDC$ (cạnh huyền - góc nhọn) (**)
$\Rightarrow DF=DC$ (hai cạnh tương ứng)
$\Rightarrow \Delta DFC$ cân tại D
d) Giả sử M, D, J thẳng hàng 
Ta có:
BA=BE
Từ (**)$\Rightarrow AF=EC$ (hai cạnh tương ứng)
$\Rightarrow BA+AF=BE+EC$
$\Leftrightarrow BF=BC$
Xét $\Delta BFJ$ và $\Delta BCJ$ có:
BF=BC (cmt)
$\widehat{FBJ}=\widehat{CBJ}$ (cmt)
BN chung
$\Rightarrow \Delta BFJ=\Delta BCJ$ (c.g.c)
$\Rightarrow FJ=JC$ (hai cạnh tương ứng)
mà N là trung điểm của FC (gt)
$\Rightarrow M,D,N$ thẳng hàng