a)

Xét tứ giác $BFEC$, ta có $\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90{}^\circ $

Nên $BFEC$ nội tiếp

Do đó $\widehat{AEM}=\widehat{ABC}$ (góc ngoài bằng góc đối trong)

b)

Ta có $\widehat{AEM}=\widehat{ABC}\left( cmt \right)$

Mà:

+  $\widehat{AEM}+\widehat{AEN}=180{}^\circ $  (hai góc kề bù)

+  $\widehat{ABC}+\widehat{ANC}=180{}^\circ $  (vì $ABCN$ nội tiếp)

Nên $\widehat{AEN}=\widehat{ANC}$

Xét $\Delta AEN$ và $\Delta ANC$, ta có:

+  $\widehat{AEN}=\widehat{ANC}\left( cmt \right)$

+  $\widehat{EAN}$ là góc chung

Nên $\Delta AEN\backsim\Delta ANC\left( g.g \right)$

Do đó $\dfrac{AE}{AN}=\dfrac{AN}{AC}\Rightarrow A{{N}^{2}}=AE.AC$

Chứng minh tương tư: $A{{M}^{2}}=AF.AB$

Xét $\Delta AEB$ và $\Delta AFC$, ta có:

+  $\widehat{BAC}$ là góc chung

+  $\widehat{AEB}=\widehat{AFC}=90{}^\circ $

Nên $\Delta AEB\backsim\Delta AFC\left( g.g \right)$

Do đó $\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\Rightarrow AE.AC=AF.AB$

Ta chứng minh được 3 ý: $\begin{cases}AN^2=AE.AC\\AM^2=AF.AB\\AE.AC=AF.AB\end{cases}$

$\Rightarrow A{{N}^{2}}=A{{M}^{2}}$

$\Rightarrow AN=AM$

c)

Ta có $BFEC$ nội tiếp với đường kính $BC$

Có $K$ trung điểm $BC$ nên $K$ là tâm

Do đó $\widehat{EKC}=2\widehat{EFC}$ (góc ở tâm = 2 lần góc nội tiếp)

$BFEC$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{EFC}=\widehat{EBC}$

$BFHD$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{HFD}=\widehat{EBC}$

$\Rightarrow \widehat{EFC}=\widehat{HFD}$

$\Rightarrow FC$ là phân giác $\widehat{EFD}$

$\Rightarrow \widehat{EFD}=2\widehat{EFC}$

$\Rightarrow \widehat{EFD}=\widehat{EKC}$

$\Rightarrow DFEK$ nội tiếp