Đáp án:

 $(C):(x-2)^2+(y-2)^2=4\\
 (C):(x-10)^2+(y-10)^2=100$

Giải thích các bước giải:

Gọi $I(a,b)$ là tâm của đường tròn (C)
Do (C) tiếp xúc với 2 trục tọa độ nên I cách đều 2 trục tọa độ. Suy ra: $|a| = |b|$
Nhận xét: Do đường tròn tiếp xúc với 2 trục tọa độ nên cả hình tròn nằm trong 1 trong 4 góc của hệ trục, lại có $A(4, 2)$ thuộc phần tư thứ I
$\Rightarrow $ Tâm I thuộc phần tư thứ I $\Rightarrow  a > 0, b > 0$
Như vậy tọa độ tâm là $I(a, a)$, bán kính $R = a,$ với $a > 0$
Ta có phương trình đường tròn (C) có dạng $(x−a)^2+(y-a)^2=a^2$
Do $A (4;2)$ thuộc đường tròn (C) nên thay tọa độ của A vào phương trình (C) ta được: $(4−a)^2+(2-a)^2=a^2$
$\Leftrightarrow 16-8a+a^2+4-4a+a^2-a^2=0\\
\Leftrightarrow a^2-12a+20=0\\
\Leftrightarrow {\left[\begin{aligned}a=2\\a=10\end{aligned}\right.}\\
+) a=2 \Rightarrow (C):(x-2)^2+(y-2)^2=4\\
+) a=10 \Rightarrow (C):(x-10)^2+(y-10)^2=100$