Xét `\triangleABM` vuông tại `A` , ta có :

`AB < BM` ( quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc) `(1)`

Ta có :

`BM = BE + EM = BF - MF` `(2)`

Từ `(1)` và `(2)`

`=> AB < BE + EM`

       `AB < BF - MF`

`=> AB + AB < BE + EM + BF - MF`

`=> 2.AB < BE + EM + BF - MF` `(3)`

Xét `\triangleAEM` vuông tại `E` và `\triangleCFM` vuông tại `F`, ta có :

`AM = MC` ( `M` trung điểm `AC`)

$\widehat{AME}$ = $\widehat{CMF}$ ( hai góc đối đỉnh)

`=>` `\triangleAEM`  =`\triangleCFM` `(ch-gn)`

`=> EM = MF` `(4)`

Từ `(3)` và `(4)`

`=> 2.AB < BE + BF`

`=> AB <` $\dfrac{BE+BF}{2}$ 

@UCKSWT

Trong `ΔABM`, có `\hat{BAM}= 90^o`$(gt)$

`→AB < BM` (trong `Δ` vuông cạnh huyền lớn nhất)

Mà `BM = BE + EM = BF - MF`

`→ AB < BE + EM`

     `AB < BF - FM`

`⇒AB + AB < BE + ME + BF - MF`     `(1)`

Xét `ΔAEM` và `ΔCFM`, có:

`\hat{AEM}=\hat{CFM}= 90^o`

`AM = CM (M` là trung điểm của `AC)`

`\hat{AME}=\hat{CMF}` (đối đỉnh)

`→ ΔAEM = ΔCFM` (cạnh huyền `+` góc nhọn)

`⇒ ME = MF`       `(2)`

Từ `(1)&(2)` suy ra: `AB + AB < BE + BF`

`⇒ 2AB < BE + BF`

Vậy `AB < (BE + BF) / 2 `   (đpcm)