a) Xét \(\Delta AHC\) và \(\Delta MFC\) ta có:

\(\widehat{C_1}\) là góc chung (1)

\(\widehat{AHC}=\widehat{F_1}=90^o\left(gt\right)\left(2\right)\)

Từ (1), (2) \(\Rightarrow\Delta AHC\sim\Delta MFC\left(G-G\right)\)

b)

 Xét \(\Delta EBM\) và \(\Delta ABC\) ta có:

\(\widehat{E_1}=\widehat{BAC}=90^o\left(gt\right)\left(6\right)\)

Từ (3), (6) \(\Rightarrow\Delta EBM\sim\Delta ABC\left(G-G\right)\left(7\right)\)

Ta lại có: EM \(\perp AB\) (gt)

Và \(AC\perp AB\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\) EM // AC

\(\Rightarrow\widehat{EMB}=\widehat{C_1}\) (2 góc so le trong) (8)

Mà MB = MC (gt) (9)

Từ (8), (9) \(\Rightarrow\) \(\Delta EMB=\Delta FCM\) (cạnh huyền - góc nhọn) (10)

Từ (10) \(\Rightarrow EB=FM\) (2 cạnh tương ứng) (11)

Vì AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC của \(\Delta ABC\) vuông tại A

\(\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}BC\)

\(\Rightarrow AM=MB\)

Nên \(\Delta AMB\) cân tại M

Mà ME là đường cao của \(\Delta AMB\) cân tại M

\(\Rightarrow\) ME cũng là đường trung tuyến

\(\Rightarrow\) EA = EB = \(\dfrac{1}{2}AB\) (12)

Từ (7) \(\Rightarrow\dfrac{EM}{AC}=\dfrac{EB}{AB}\) (13)

Từ (11), (13) \(\Rightarrow\dfrac{EM}{AC}=\dfrac{FM}{AB}\Leftrightarrow EM.AB=FM.AC\)

c) đề sai cậu ơi

d) Xét \(\Delta HBA\) và \(\Delta ABC\) ta có:

\(\widehat{H_1}=\widehat{BAC}=90^0\left(gt\right)\left(14\right)\)

Từ (3), (14) \(\Rightarrow\Delta HBA\sim\Delta ABC\left(G-G\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{BH}{AB}=\dfrac{AB}{BC}\Leftrightarrow AB^2=BH.BC\) (15)

Từ (12) \(\Rightarrow\) EA = \(\dfrac{1}{2}AB\)

\(\Leftrightarrow\) AB = 2AE

\(\Leftrightarrow\) AB² = (2AE)²

\(\Leftrightarrow\) AB² = 4AE² (16)

Từ (15), (16) \(\Rightarrow BH.BC=4AE^2\)