Giải thích các bước giải:

1.Vì $BM,CN$ là đường cao $\Delta ABC\to BM\perp AC, CN\perp AB$

$\to \widehat{HNB}=\widehat{HMC}=90^o$

Mà $\widehat{NHB}=\widehat{MHC}$(đối đỉnh)

$\to\Delta HBN\sim\Delta HCM(g.g)$

2.Ta có : $\widehat{ANC}=\widehat{AMB}=90^o\to \Delta ANC=\Delta AMB(g.g)$

$\to \dfrac{AN}{AM}=\dfrac{AC}{AB}\to AB.AN=AC.AM$

$\to \dfrac{AN}{AC}=\dfrac{AM}{AB}$

$\to \Delta AMN\sim\Delta ABC(c.g.c)\to \widehat{AMN}=\widehat{ABC}$

3.Ta có $\Delta BMC,CNB$ vuông tại $M,N$

Mà $K$ là trung điểm $BC$

$\to KN=KB=KC=KM=\dfrac12BC$

$\to \Delta KMN$ cân tại K

Mà $E$ là trung điểm MN

$\to KE\perp MN$

4.Gọi $AH\cap BC=D$

Vì $BM,CN$ là đường cao $\Delta ABC\to H$ là trực tâm $\Delta ABC$

$\to AH\perp BC=D$

$\to \widehat{BDA}=\widehat{BNC}=90^o$

$\to \Delta BAD\sim\Delta BCN(g.g)$

$\to \dfrac{BA}{BC}=\dfrac{BD}{BN}\to BN.BA=BD.BC$

Tương tự $\to CM.CA=CD.CB$

$\to BN.BA+CM.CA=BD.BC+CD.CB=BC^2$