Bài 16

a) Xét ptrinh hoành độ giao điểm

$x^2 - 4x +3 = mx + 2 - 2m$

$<-> x^2 - (m + 4)x + 2m + 1 = 0$

Ta có

$\Delta = (m+4)^2 -4(2m+1) = m^2 + 8m + 16 - 8m - 4 = m^2 + 12 \geq 12 > 0$ với mọi $m$.

Do đó ptrinh trên luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Vậy hai đồ thị luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

b) Gọi hoành độ của $M,N$ lần lượt là $x_1, x_2$.

Khi đó tọa độ của $M, N$ lần lượt là $mx_1 + 2-2m, mx_2 + 2-2m$

Khi đó $x_1, x_2$ là nghiệm của ptrinh trên.

Điểm K có tọa độ là $K(2,2)$

Khi đó ta có

$\vec{KM} = (x_1 - 2, mx_1 - 2m), \vec{KN} = (x_2 - 2, mx_2 - 2m)$

Khi đó ta có

$KM = 2KN$

$<-> KM^2 = 4KN^2$

$<-> (x_1 - 2)^2 + (mx_1 - 2m)^2 = 4(x_2 - 2)^2 + 4(mx_2 - 2m)^2$

$<-> (x_1 - 2)^2 + m^2(x_1 - 2)^2 = 4(x_2 - 2)^2 + 4m^2(x_2 - 2)^2$

$<-> (m^2 + 1)(x_1 - 2)^2 = 4(m^2 + 1)(x_2 - 2)^2$

Ta thấy $m^2 + 1 \geq 1 > 0$ với mọi $m$ nên ptrinh trở thành

$(x_1 - 2)^2 = 4(x_2 - 2)^2$

$<-> |x_1 - 2| = 2|x_2 - 2|$

TH1: $x_1 - 2 = 2x_2 - 4$

Hai nghiệm của ptrinh là $x = \dfrac{m + 4 \pm \sqrt{m^2 + 12}}{2}$

Suy ra

$\dfrac{m + 4 - \sqrt{m^2 + 12}}{2} - (m + 4 + \sqrt{m^2 + 12}) = -2$

$<-> m + 4 - \sqrt{m^2 + 12} - 2m - 8 - 2\sqrt{m^2 + 12} = -4$

$<-> 3\sqrt{m^2 + 12} = -m$

ĐK: $m \leq 0$. Bình phương 2 vế ta có

$9m^2 + 108 = m^2$

$<-> m^2 = -\dfrac{27}{2}$ 

Vậy ko có $m$ thỏa mãn

TH2: $x_1 - 2 = 4- 2x_2$

$<-> x_1 + 2x_2 = 6$

Hai nghiệm của ptrinh là $x = \dfrac{m + 4 \pm \sqrt{m^2 + 12}}{2}$

Từ đẳng thức trên ta suy ra

$m + 4 + \sqrt{m^2 + 12} + \dfrac{m + 4 - \sqrt{m^2 + 12}}{2} = 6$

$<-> 2m + 8 + 2\sqrt{m^2 + 12} + m + 4 - \sqrt{m^2 + 12} = 12$

$<-> \sqrt{m^2 + 12} + 3m = 0$

$<-> \sqrt{m^2 + 12} = -3m$

ĐK: $m < 0$. Bình phương 2 vế ta có

$m^2 + 12 = 9m^2$

$<-> 8m^2 = 12$

$<-> m^2 = \dfrac{3}{2}$

$<-> m = \pm \dfrac{\sqrt{6}}{2}$

Do $m < 0$ nên $m = - \dfrac{\sqrt{6}}{2}$

Vậy $m = -\dfrac{\sqrt{6}}{2}$