Giải thích các bước giải:

1.Ta có: $\Delta ABC$ cân tại $A, AH\perp BC\to AH$ đồng thời là phân giác $\hat A$

$\to \widehat{BAH}=\widehat{CAH}$

Vì $DH//AC$

$\to \widehat{DHA}=\widehat{HAC}=\widehat{HAB}=\widehat{HAD}$

$\to\Delta ADH$ cân tại $D$

$\to DA=DH$

Mặt khác $DH//AC\to \widehat{DHB}=\hat C=\hat B$

$\to\Delta DHB$ cân tại $D\to DB=DH$

$\to DB=DA(=DH)$

$\to D$ là trung điểm $AB$

2.Ta có: $\Delta ABC$ cân tại $A, AH\perp BC$

$\to H$ là trung điểm $BC$

Do $D$ là trung điểm $AB$ 

       $AH\cap CD=G$

$\to G$ là trọng tâm $\Delta ABC$

Lại có $E$ là trung điểm $AC$

$\to B, G, E$ thẳng hàng

Ta có: $AH\perp BC\to\Delta AHC$ vuông tại $H$

$\to AH^2=AC^2-HC^2=64$

$\to AH=8$

Do $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$

$\to AG=\dfrac23AH, GH=\dfrac13AH$

$\to AG-GH=\dfrac13AH=\dfrac83$

3.Xét $\Delta ADC,\Delta ABE$ có:

$AD=\dfrac12AB=\dfrac12AC=AE$

Chung $\hat A$

$AB=AC$

$\to\Delta ABE=\Delta ACD(c.g.c)$

$\to BE=CD$

Trên tia đối của tia $EB$ lấy điểm $F$ sao cho $EB=EF$

Xét $\Delta EAB,\Delta ECF$ có:

$EA=EC$

$\widehat{AEB}=\widehat{FEC}$

$EB=EF$

$\to\Delta EAB=\Delta ECF(c.g.c)$

$\to AB=CF$

$\to AB+CB=CF+BC>BF=2BE$

$\to AB+BC>2BE(1)$

Tương tự $AB+AC>2AH(2)$

                   $CA+CB>2CD(3)$

Công vế với vế của $(1), (2), (3)$

$\to 2(AB+BC+CA)>2(BE+AH+CD)$

$\to AB+BC+CA>BE+AH+CD$

$\to AB+BC+CA>AH+BE+CD$

$\to AB+BC+CA>AH+2BE$ vì $BE=CD$

$\to AB+BC+CA>AH+3BG$ vì $G$ là trọng tâm $\Delta ABC\to BE=\dfrac32BG\to 2BE=3BG$

$\to P>AH+3BG$