Đáp án:

`a)`

Xét ` ΔABC` ta có

` AB^2+ AC^2 = 3^2  +4^2 = 25`

Mà ` BC^2 = 5^2 = 25`

` => AB^2 + AC^2 = BC^2`

` => ΔABC` vuông tại `A` 

`b)`

Vì $BD//AE$ nên `\hat{BDA} = \hat{DAE}`

Xét `ΔBAD` và ` ΔEDA` ta có 

` BD = AE` (gt)

` \hat{BDA} = \hat{DAE}` (cmt)

` AD` chung

` => ΔBAD = ΔEDA`

` => AB = DE`

` c)`

Vì ` AH ⊥ BC` nên

` \hat{ADH} + \hat{DAH} = 90^0`

Mà ` AD` là tia phân giác của `\hat{BAH}` nên

`\hat{DAH} = \hat{BAD}`

Ta có ` \hat{BAD} + \hat{DAC} = 90^0`

` => \hat{ADC} = \hat{DAC}`

` => ΔADC` cân 

`d)`

Vì `ΔBAD = ΔEDA`

` => \hat{BAD} = \hat{EDA}`

Mà `2` góc này so le trong

` => AB //DE`

Ta có `ΔADC` cân ; mà ` M` là trung điểm  `AD` 

` => CM` là trung tuyến

 `=> CM` là đường cao của ` Δ CAD`

` => CI ` là đường cao của ` Δ CAD (1)`

Mà ta có ` BA ⊥ AC ;` $ DE // BA$

` => DE ⊥ AC ` 

` => DI ⊥ AC`

` => DI` là đường cao của ` Δ CAD (2)`

` => I` là trực tậm của ` Δ CAD`

` => C ; M ; I` thẳng hàng 

+ TH1: Xét ΔABC vuông tại A có các đường cao AD, BA, CA.

BA, CA là hai đường cao xuất phát từ hai góc nhọn B và C của ΔABC.

AB = AC ⇒ ΔABC cân tại A (đpcm).

+ TH2: Xét ΔABC không có góc nào vuông, hai đường cao BD = CE (như hình vẽ minh họa)

Xét hai tam giác vuông EBC và DCB có :

BC (cạnh chung)

CE = BD (giả thiết)

⇒ ∆EBC = ∆DCB (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

+ Xét ΔABC ba đường cao BD = CE = AF (như hình vẽ minh họa)

CE = BD ⇒ ΔABC cân tại A (như cmt) ⇒ AB = AC.

CE = AF ⇒ ΔABC cân tại B (như cmt) ⇒ AB = BC:

⇒ AB = AC = BC

⇒ ΔABC đều.