Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a)

  Ta có ΔAEH ~ ΔAHB (2 tam giác vuông có góc nhọn ở A chung)

b)

  Từ a) —► AH/AE = AB/AH

—► AH² = AE.AB                  (1)

  Tương tự: ΔAFH ~ ΔAHC (2 tam giác vuông có góc nhọn ở A chung)

—► AH/AF = AC/AH

—► AH² = AF.AC                  (2)

Từ (1) và (2)—► AE.AB=AF.AC (đpcm)

c)

    Gọi O, G và K là trung điểm của AH, AE và AF. Nối điểm O với E, G, K và F.

    Ta có OK là đường trung bình của ΔAHF nên OK//HF mà HF⊥AC  nên OK⊥AC —►Δvuông OKA=Δvuông OKF (c.g.c)—► OA=OF             (3)

và ∠AOK=∠KOF                                                 (4)

    Tương tự vậy Δvuông OGA=Δvuông OGE (c.g.c)—► OA=OE                                             (5)

và ∠OAE=∠AEO                                                 (6)

    Mà O là trung điểm của AH nên từ (3) và (5) ta có: OA=OF=OH=OE

    Từ OE=OF —► ΔOEF cân tại O

—► ∠OEF=∠EFO                                               (7)

    Xét tổng các góc của ΔAEF ta có:

∠OAE+∠AEO+∠OEF+∠EFO

      +∠OFA+∠FAO = 180°

   Thay (6) và (7) vào rồi chuyển vế ta có:

∠ AEO+∠AEO+∠OEF+∠OEF

                              = 180°-(∠OFA+∠FAO)

—► 2(∠AEO+∠OEF)=180°-(∠OFA+∠FAO)

—► 2*∠AEF =180°-(∠OFA+∠FAO)               (8)

   Xét tổng các góc của ΔOAF ta có:

∠AOF+∠OFA+∠FAO = 180°

—► ∠AOF =180°-(∠OFA+∠FAO)                  (9)

  Từ (8) và (9)—►∠AOF=2*∠AEF               (10)

   Ta cũng có: do ΔOHF cân tại O

  —► ∠AHF=∠HFO                                

  Vì OK//HF nên ∠KOF=∠HFO  (sole)

                    Và ∠AHF=∠AOK (đồng vị)            

—►∠AOF=∠AOK+∠KOF=∠AHF+∠AHF

—►∠AOF=2*∠AHF                                         (11)

Từ (10) và (11)—►∠AEF=∠AHF    

Mà ∠AHF=∠ACF (cùng phụ với ∠HAC)

—►∠AEF=∠ACH                                             (12)

Vì có góc A chung và ∠AEF=∠ACH

—► ΔAEF ~ ΔACB (g.g)      (đpcm)

d)

   Ta có: ∠AEF = ∠BEM (đối đỉnh)              (13)

Từ (12) và (13)—► ∠ACH=∠BEM

  Vì có góc M chung và ∠ACH=∠BEM

—► ΔMBE ~ ΔMFC (g.g)   

—► ME/MB = MC/MF

—► ME.MF=MB.MC  (đpcm)