Đáp án:

$ V_{\text{nón}}=\dfrac{5\pi a^2}{12}$

Giải thích các bước giải:

Gọi đỉnh của hình nón là $S$, tâm ở đáy của hình nón là $O\Rightarrow SO\bot $(đáy), $SO=a$

Gọi thiết diện của hình nón cắt bởi mặt phẳng đi qua đỉnh hình nón là $\Delta SAB\bot S$ (giả thiết)

Gọi $I$ là trung điểm của $\Delta OAB$ cân đỉnh $O$ (OA=OB=R)

$\Rightarrow OI\bot AB$

$AB\bot SO$

$OI,SO\subset(SOI)\Rightarrow AB\bot(SOI)$

Trong $\Delta SOI$ dựng $OH\bot SI$

và $\Rightarrow OH\bot AB$

$SI,AB\subset(SAB)\Rightarrow OH\bot(SAB)$

$\Rightarrow d(O,(SAB))=OH=\dfrac a3$

Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta SOI\bot O$ có:

$\dfrac{1}{OI^2}=\dfrac{1}{OH^2}-\dfrac{1}{SO^2}=\dfrac9{a^2}-\dfrac1{a^2}=\dfrac8{a^2}$

$\Rightarrow OI=\dfrac a{2\sqrt2}$

$\Delta SOI\bot O:SI=\sqrt{SO^2+OI^2}=\sqrt{a^2+\dfrac{a^2}{8}}=\dfrac{3a}{2\sqrt2}$

$\Delta SAB\bot$ cân đỉnh $S$ có $I$ là trung điểm của cạnh huyền $AB$ nên $AI=SI$

$\Delta OAI\bot I$ có $OA=\sqrt{OI^2+AI^2}=\sqrt{\dfrac{a^2}{8}+\dfrac{9a^2}8}=\dfrac{a\sqrt{5}}2$

$\Rightarrow V_{\text{nón}}=\dfrac13.\pi.OA^2.SO=\dfrac13.\pi.\dfrac{5a^2}4.a=\dfrac{5\pi a^2}{12}$ đơn vị thể tích.