Đáp án:

\[m > 5\]

Giải thích các bước giải:

 Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

\(\begin{array}{l}
\Delta ' > 0\\
 \Leftrightarrow {m^2} - 1.\left( {3m - 2} \right) > 0\\
 \Leftrightarrow {m^2} - 3m + 2 > 0\\
 \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {m - 1} \right) > 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m > 2\\
m < 1
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)
\end{array}\)

Với điều kiện (*), phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2m\\
{x_1}.{x_2} = 3m - 2
\end{array} \right.\)

Hai nghiệm trên đều dương và có tổng lớn hơn 10 nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} > 10\\
{x_1}{x_2} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2m > 10\\
3m - 2 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > 5\\
m > \frac{2}{3}
\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 5\)

Kết hợp các điều kiện ta được \(m > 5\) là thỏa mãn bài toán.

Phương trình 2 nghiệm phân biệt khi:

$\Delta'= m^2-3m+2>0$

$\Leftrightarrow m<1; m>2$   (1)

Hai nghiệm dương khi $S>0, P>0$

$S=2m>0\Leftrightarrow m>0$   (2)

$P=3m-2>0\Leftrightarrow m>\dfrac{2}{3}$     (3)

(1) (2) (3) $\Rightarrow \dfrac{2}{3}<m<1$ hoặc $m>2$ 

$x_1+x_2>10$

$\Leftrightarrow 2m>10$

$\Leftrightarrow m>5$

Vậy $m>5$