a, 

$\Delta$ MNP vuông tại M có $MP=\sqrt{NP^2-MN^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8cm$ 

NI phân giác nên $\frac{MN}{MI}=\frac{NP}{IP}=\frac{MN+NP}{MI+IP}=\frac{6+10}{8}=2$

$\Rightarrow IP=\frac{NP}{2}=5(cm)$ 

b,

$\Delta$ NMI và $\Delta$ NKI có:

$\widehat{NMI}=\widehat{NKI}=90^o$ 

NI chung 

$\widehat{MNI}=\widehat{KNI}$ 

$\Rightarrow \Delta$ NMI = $\Delta$ NKI (ch-gn)   (*)

$\Rightarrow$ MN=NK

$\Rightarrow \Delta$ MNK cân tại N 

c, 

(*) $\Rightarrow $ MI=IK    (1)

$\Delta$ IKP vuông tại K có IK > IP

$\Rightarrow$ MI < IP 

$\Rightarrow $ MI < MP 

$\Rightarrow$ NI < NP (quan hệ đường xiên, hình chiếu)

d, 

$\Delta$ MIH = $\Delta$ KIP (g.c.g)

$\Rightarrow $ MH=KP      (2)

(1)+(2): NH=NP

$\Rightarrow$ $\Delta$ NHP cân tại N

NI phân giác nên cũng là đường cao

$\Rightarrow$ I là trực tâm

$\Rightarrow$ HI $\bot$ NP 

Mà IK $\bot$ NP nên HI$\equiv$ IK

$\Rightarrow$ H, I, K thẳng hàng