a) ΔABC vuông tại A có:

$\widehat{ACB} + \widehat{B} = 90^{o}$

Mà $\widehat{ACB} = 30^{o}$

⇒ $\widehat{B} = 90^{o} - 30^{o} = 60^{o}$

Ta có: $HD = HB (gt)$

          $\textrm{H nằm giữa D và B}$

⇒ $\textrm{H là trung điểm của DB}$

⇒ $\textrm{AH là đường trung tuyến của ΔABD (Đ/n)}$

Mà $\textrm{AH đồng thời là đường cao của ΔABD (Vì AH ⊥ BC, D ∈ BC)}$

⇒ $\textrm{ΔABD cân tại A (DHNB)}$

$\textrm{Lại có:}$ $\widehat{B} = 60^{o}$

⇒ $\textrm{ΔABD là tam giác đều}$

b) $\textrm{Δ đều ABD có:}$ $\widehat{BAD} = \widehat{ADB} = \widehat{B} = 60^{o} $
Lại có: $\widehat{BAD} + \widehat{CAD} = \widehat{BAC}$ (Vì tia AD nằm giữa tia AC và AB)

       Hay $60^{o} + \widehat{CAD} = 90^{o}$

⇒ $\widehat{CAD} = 90^{o} - 60^{o} = 30^{o}$
ΔCAD có: $\widehat{ACB} = \widehat{CAD} (30^{o})$

⇒ $\textrm{ΔCAD cân tại D (DHNB)}$
⇒ $DA = DC (T/c)$

ΔCDE và ΔADH có:

$\widehat{CED} = \widehat{AHD} = 90^{o}$ (Vì AH ⊥ BC, CE ⊥ AD)$

$\widehat{CDE} = \widehat{ADH}$ (2 góc đối đỉnh)

$DA = DC (cmt)$

⇒ $ΔCDE = ΔADH (ch-gn)$

⇒ $AH = CE$ (cặp cạnh tương ứng)

c) $\textrm{Vì ΔDCA cân tại A⇒}$ $\widehat{ACB} = \dfrac{180^{o} - \widehat{ADC}}{2} ^{(1)}$

$\textrm{Vì ΔCDE = ΔADH ⇒ DE = DH (cặp cạnh tương ứng)}$

⇒ $\textrm{ΔHDE cân tại D (Đ/n)}$

⇒ $\widehat{DEH} = \dfrac{180^{o} - \widehat{HDE}}{2} ^{(2)}$

Ta có: $\widehat{HDE} = \widehat{ADC} ^{(3)}$ (2 góc đối đỉnh)

Kết hợp (1), (2) và (3) ta được $\widehat{ACB} = \widehat{DEH}$

Mà hai góc này ở vị trí SLT nên $EH // AC (DHNB)$