a) Xét $\Delta ABH$ và $\Delta ACH$ có:

$AB=AC$ (giả thiết)

$\widehat{ABH}=\widehat{ACH}$ (do giả thiết cho $\Delta ABC$ cân đỉnh A)

$AH$ chung

$\Rightarrow \Delta ABH=\Delta ACH$ (c.g.c) (đpcm)

b) $\Delta ABH=\Delta AC\Rightarrow\widehat{AHB}=\widehat{AHC}$ (hai góc tương ứng)

mà $\widehat{AHB}+\widehat{AHC}=180^o$

$\Rightarrow \widehat{AHB}=\widehat{AHC}=\dfrac{180^o}{2}=90^o$

$\Rightarrow AH\bot BC$ (1)

Do $AM=AN\Rightarrow \Delta AMN$ cân đỉnh A $\Rightarrow\widehat{AMN}=\dfrac{180^o-\widehat A}{2}$

Mà $\Delta ABC$ cân đỉnh A nên $\widehat{ABC}=\dfrac{180^o-\widehat A}{2}$

$\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{ABC}$ $(=\dfrac{180^o-\widehat A}{2})$ mà chúng ở vị trí đồng vị nên $MN//BC$ (2)

Từ (1) và (2) $MN\bot AH, E\in AH\Rightarrow MN\bot AE$ (đpcm)

c) Đã chứng minh ở câu b