a) Xét ΔABE vuông tại A và ΔIBE vuông tại I có:

BE chung

$\widehat{ABE}$ = $\widehat{IBE}$

$\Rightarrow$ ΔABE = ΔIBE (cạnh huyền - góc nhọn) (đpcm)

b) ΔABE = ΔIBE (cmt) $\Rightarrow$ AE = IE (2 cạnh tương ứng)

Xét ΔAEM vuông tại A và ΔIEC vuông tại I có:

AE = IE (cmt)

$\widehat{AEM}$ = $\widehat{IEC}$ (2 góc đối đỉnh)

$\Rightarrow$ ΔAEM = ΔIEC (cạnh góc vuông - góc nhọn)

$\Rightarrow$ EM = EC (2 cạnh tương ứng)

$\Rightarrow$ ΔEMC cân tại E (đpcm)

c) ΔAEM = ΔIEC (cmt) $\Rightarrow$ AM = IC ( 2 cạnh tương ứng)

Có: ΔABE = ΔIBE (cmt) $\Rightarrow$ AB = IB (2 cạnh tương ứng)

$\Rightarrow$ ΔABI cân tại B

$\Rightarrow$ $\widehat{BAI}$ = $\widehat{BIA}$ = $\dfrac{180^\circ - \widehat{ABI}}{2}$

Lại có: BM = BA + AM

           BC = BI + IC

mà BA = BI (cmt), AM = IC (cmt)

$\Rightarrow$ BM = BC

$\Rightarrow$ ΔMBC cân tại B

$\Rightarrow$ $\widehat{BMC}$ = $\widehat{BCM}$ = $\dfrac{180^\circ - \widehat{ABI}}{2}$ $\Rightarrow$ $\widehat{BAI}$ = $\widehat{BMC}$

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

$\Rightarrow$ AI // MC (đpcm)   

a) Xét tam giác vuông ABE và tam giác vuông IBE có:

BE chung

góc ABE = góc IBE

=> Tam giác ABE = Tam giác IBE (cạnh huyền - góc nhọn) (đpcm)

b) Tam giác ABE = Tam giác IBE (cmt)

=> AE = IE ( 2 cạnh tương ứng)

Xét tam giác vuông AEM và tam giác vuông IEC có:

AE = IE (cmt)

góc AEM = góc IEC ( 2 góc đối đỉnh)

=> Tam giác AEM = Tam giác IEC (cạnh góc vuông - góc nhọn)

=> EM = EC (2 cạnh tương ứng)

=> Tam giác EMC cân tại E (đpcm)

c) ΔAEM = ΔIEC (cmt) => AM = IC ( 2 cạnh tương ứng)

ΔABE = ΔIBE (cmt) => AB = IB (2 cạnh tương ứng)

=> ΔABI cân tại B

=> góc BAI = góc BIA = (180 độ - góc ABI) : 2

Có: BM = BA + AM, BC = BI + IC

=> BM = BC

=> Tam giác MBC cân tại B

=> góc BMC = góc BCM = (180 độ - góc ABI) : 2

=> góc BMC = góc BAI 

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

=> AI // MC (đpcm)