1)

Vì $\Delta ABC$ cân tại $A$

Nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\dfrac{180{}^\circ -\widehat{BAC}}{2}=\dfrac{180{}^\circ -100{}^\circ }{2}=40{}^\circ $

Ta có $\widehat{OBC}+\widehat{ABO}=\widehat{ABC}$

$\Rightarrow \widehat{ABO}=\widehat{ABC}-\widehat{OBC}=40{}^\circ -10{}^\circ =30{}^\circ $

Vì $\Delta OMB$ là tam giác đều

Nên $\widehat{OBM}=\widehat{OMB}=\widehat{BOM}=60{}^\circ $

Ta có $\widehat{ABO}+\widehat{ABM}=\widehat{OBM}$

$\Rightarrow \widehat{ABM}=\widehat{OBM}-\widehat{ABO}=60{}^\circ -30{}^\circ =30{}^\circ $

Xét $\Delta ABM$ và $\Delta ABO$, ta có

+  $AB$ là cạnh chung

+  $BM=BO$  (vì $\Delta OMB$ đều)

+ $\widehat{ABM}=\widehat{ABO}=30{}^\circ $

Nên $\Delta ABM=\Delta ABO\left( c.g.c \right)$

2)

Vì $CO$ là tia phân giác $\widehat{ACB}$

Nên $\widehat{OCB}=\widehat{OCA}=\dfrac{\widehat{ACB}}{2}=\dfrac{40{}^\circ }{2}=20{}^\circ $

Ta có $\widehat{OBC}+\widehat{OCB}+\widehat{BOC}=180{}^\circ $

$\Rightarrow \widehat{BOC}=180{}^\circ -\left( \widehat{OBC}+\widehat{OCB} \right)$

$\Rightarrow \widehat{BOC}=180{}^\circ -\left( 10{}^\circ +20{}^\circ  \right)$

$\Rightarrow \widehat{BOC}=150{}^\circ $

Ta có $\widehat{BOC}+\widehat{BOM}+\widehat{MOC}=360{}^\circ $

$\Rightarrow \widehat{MOC}=360{}^\circ -\left( \widehat{BOC}+\widehat{BOM} \right)$

$\Rightarrow \widehat{MOC}=360{}^\circ -\left( 150{}^\circ +60{}^\circ  \right)$

$\Rightarrow \widehat{MOC}=150{}^\circ $

Xét $\Delta BOC$ và $\Delta MOC$, ta có:

+  $OC$ là cạnh chung

+  $\widehat{BOC}=\widehat{MOC}=150{}^\circ $

+  $BO=MO$  (vì $\Delta OMB$ đều)

Nên $\Delta BOC=\Delta MOC\left( c.g.c \right)$

Do đó $\widehat{BCO}=\widehat{MCO}$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow CO$ là tia phân giác $\widehat{MCB}$

Mà $CO$ lại là tia phân giác $\widehat{ACB}$

Điều đó có nghĩa rằng $MC$ trùng với $AC$

Tức là ba điểm $A,M,C$ thẳng hàng

3)

Vì $\Delta BOC=\Delta MOC\left( cmt \right)$

Nên $\widehat{OBC}=\widehat{OMC}=10{}^\circ $

Vì $\Delta ABM=\Delta ABO\left( cmt \right)$

Nên $AM=AO$ (hai cạnh tương ứng)

$\Rightarrow \Delta AMO$ cân tại $A$

$\Rightarrow \widehat{MOA}=\widehat{OMC}=10{}^\circ $

Ta có $\widehat{BOC}+\widehat{BOM}+\widehat{MOA}+\widehat{COA}=360{}^\circ $

$\Rightarrow \widehat{COA}=360{}^\circ -\left( \widehat{BOC}+\widehat{BOM}+\widehat{MOA} \right)$

$\Rightarrow \widehat{COA}=360{}^\circ -\left( 150{}^\circ +60{}^\circ +10{}^\circ  \right)$

$\Rightarrow \widehat{COA}=140{}^\circ $