Đáp án:a) Xét tam giác AKB và tam giác AKC có :

                                + Góc AKB = góc AKC ( =90 độ)

                                + AB = AC ( đề cho )

                                + AK là cạnh chung

                  => tam giác AKB = tam giác AKC ( cạnh huyền_cạch góc vuông)

b) từ câu a) tam giác AKB= tâm giác AKC ta có : 

KB = KC (vì 2 cạnh tương ứng )

=> KB=KC=1 phần 2 BC= 18 phần 2 = 9 cm

(lúc này Kc = 9cm)

Theo định lí pitago ta có

a^2 + b^2= c^2

Ak^2 = AC^2 - KC^2

AK^2= 15^2-9^2= 12^

=> AK = căn 144 =12

c)xét tam giác EKB và tam giác FKC có

          +góc BEK = góc CFK (=90 độ)

          +BK = KC (câu a )

          +góc B = góc C( tam giác ABC cân tại a)

 => tam giác EKB = tam giác FKC ( cạnh huyền_ góc nhọn)

=> EK = FK ( 2 cạnh tương ứng )

=>BE=CF    (      "               "         )

ta có AB = AC và BE = CF nên suy ra EA = AB-BE = AF=AC-FC=> EA=AF

vì EA=AF nên A thuộc đường trung trực của EF

    EK=KF "      K           "                 "                    "

vậy AK là đường trung trực của EF

Giải thích các bước giải:

a)Chứng minh:ΔAKB=ΔAKC:

Ta có AK là đường cao ⇒AK⊥BC tại K

Xét ΔAKB vuông tại K và ΔAKC vuông tại K ta có

AB=AC(ΔABC cân tại A)

AK là cạnh chung

→ΔAKB=ΔAKC(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

b)Tính AK:

Ta có:BK=CK(ΔAKB=ΔAKC)

⇒K là trung điểm BC.

⇒BK=CK=$\frac{BC}{2}$ =$\frac{18}{2}$ =9(cm)

Xét ΔAKC vuông tại K ta có

$AK^{2}$ +$CK^{2}$ =$AC^{2}$(định lý Pytago)

$AK^{2}$ +$9^{2}$ =$15^{2}$

$AK^{2}$ +81=225

$AK^{2}$=225-81

AK²=144

⇒AK=√144=12(cm)

c)Chứng minh AK là trung trực suy ra EF//BC:

Ta có ΔABC cân tại A(gt)(1)

K là trung điểm BC(cmt)(2)

 AK⊥BC(AK là đường cao)(3)

Từ(1)(2)(3)⇒AK là trung trực.

*Chứng minh EF//BC

Có EAK=FAK(AK là trung trực ,đường cao thì cũng là phân giác)

Xét ΔAEK vuông tại E và ΔAFK vuông tại F ta có

AK là cạnh huyền chung

EAK=FAK(AK là phân giác)

⇒ΔAEK=ΔAFK(cạnh huyền-góc nhọn)

⇒AF=AE(2 cạnh tương ứng)

⇒ΔAFE cân tại A

⇒AEF=AFE=$\frac{180-A}{2}$ (4)

Có ΔABC cân tại A(gt)

⇒ABC=ACB=$\frac{180-A}{2}$ (5)

Từ (4)(5)⇒AEF=AFE=ABC=ACB=$\frac{180-A}{2}$

⇒AFE=ACB(cmt)

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị.

⇒EF//BC.