a)

Xét $\Delta ABM$ vuông tại $A$ và $\Delta DBM$ vuông tại $D$, ta có:

+ $BM$ là cạnh chung

+ $\widehat{ABM}=\widehat{DBM}$ (vì $BM$ là phân giác $\widehat{ABC}$)

Nên $\Delta ABM=\Delta DBM\left( ch-gn \right)$

Do đó $BA=BD$ (hai cạnh tương ứng)

Vậy $\Delta BAD$ cân tại $B$

b)

Gọi $I$ là giao điểm $BM$ và $AD$

Xét $\Delta BIA$ và $\Delta BID$, ta có:

+ $BI$ là cạnh chung

+ $\widehat{ABI}=\widehat{DBI}$ (vì $BM$ là phân giác $\widehat{ABC}$)

+ $BA=BD\left( cmt \right)$

Nên $\Delta BIA=\Delta BID\left( c.g.c \right)$

Do đó $\widehat{BIA}=\widehat{BID}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{BIA}+\widehat{BID}=180{}^\circ $ (hai góc kề bù)

Nên $\widehat{BIA}=\widehat{BID}=\frac{180{}^\circ }{2}=90{}^\circ $

Vậy $BI\bot AD$ tại $I$

Hay nói cách khác, $BM\bot AD$ tại $I$

Từ $\Delta BIA=\Delta BID\left( cmt \right)$

Ta có $IA=ID$ (hai cạnh tương ứng)

Nên $I$ là trung điểm $AD$

Vậy $BM\bot AD$ tại $I$ là trung điểm $AD$

Nên $BM$ là đường trung trực của $AD$