a)

Ta có $\Delta ABC$ cân tại $A$ với đường cao $AH$

Nên $AH$ cũng đồng thời là đường phân giác

$\Rightarrow \widehat{HAB}=\widehat{KAH}$

Mà $\widehat{HAB}=\widehat{KHA}$ (vì $HK//AB$, hai góc so le trong)

Nên $\widehat{KAH}=\widehat{KHA}$

Do đó $\Delta AHK$ cân tại $K$

b)

Ta có $\widehat{KAH}=\widehat{KHA}\left( cmt \right)$

Mà: $\begin{cases}\widehat{KAH}+\widehat{KCH}=90{}^\circ\\\widehat{KHA}+\widehat{KHC}=90{}^\circ\end{cases}$

Nên: $\widehat{KCH}=\widehat{KHC}$

$\Rightarrow \Delta CHK$ cân tại $K$

$\Rightarrow KC=KH$

Mà $KA=KH$ (vì $\Delta AHK$ cân tại $K$)

$\Rightarrow KC=KA$

$\Rightarrow K$ là trung điểm $AC$

Ta có $\Delta ABC$ cân tại $A$ với đường cao $AH$

Nên $AH$ cũng đồng thời là đường trung tuyến

Do đó $H$ là trung điểm $BC$

Ta có $\Delta ABC$ có hai đường trung tuyến $AH,BK$ giao nhau tại $I$

Nên $I$ là trọng tâm $\Delta ABC$

Do đó $CI$ đi qua trung điểm của $AB$

Mà $M$ lại là trung điểm $AB$

Vậy ba điểm $C,I,M$ thẳng hàng

c)

$\Delta CHK$ cân tại $K$ (chứng minh câu b)