Giải thích các bước giải:

 a) Vì AH là tia phân giác góc BAC

=> góc BAH=CAH

Vì AM vuông với BA

=> góc AMH=90 độ

=> góc HAM+MHA=90 độ

Tương tự NAH+AHN=90 độ

=> góc MHA=NHA

Xét $\vartriangle MAH$ và $\vartriangle NAH$ có:

AH chung, $\angle MAH = \angle NAH$, $\angle MHA = \angle NHA$

=> $\vartriangle MAH$ = $\vartriangle NAH$ (g-c-g)

=> AM=AN(đpcm)

b) Vì AB=AC

=> A thuộc trung trực của BC

Vì tam giác ABC cân tại A có AH là phân giác góc A

=> AH đồng thời là đừong cao của tam giác ABC

=> AH vuông góc BC

=> AH chính là trung trực của BC (đpcm)

c) Vì AM=AN (cmt), AB=AC

=> $\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}$

=> theo định lý Talet đảo ta có:

MN//BC(đpcm)

d) Vì HM=ME=> HE=2MH

Tương tự: HF=2HN, mà HN=HM

=> HE=HF

Xét $\vartriangle AEH$ và $\vartriangle AFH$ có:

AH chung, $\angle AHE = \angle AHF$, EH=FH

=> $\vartriangle AEH$ = $\vartriangle AFH$  (c-g-c)

=> AE=AF(đpcm)